Exercício 11 Resolva as EDO’s seguintes
2 x+y^2+2 x y cdot d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO de primeira ordem
2x + y^2 + 2xy,dydx = 0
Vamos reconhecer que ela pode ser escrita na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e, em seguida, verificar se é uma equação exata.

Passo 2

Reescrevendo a EDO em forma diferencial, temos
(2x + y^2),dx + 2xy,dy = 0,
onde definimos
M(x,y) = 2x + y^2, N(x,y) = 2xy

Passo 3

Para checar a exatidão calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2y, partial Npartial x = 2y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M(x,y) e partial psipartial y = N(x,y)
Integrando M em relação a x,
psi(x,y) = integral (2x + y^2),dx = x^2 + x,y^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Agora igualamos
partial psipartial y = 2xy + h'(y) stackrel!= N(x,y) = 2xy,
logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Passo 5

A solução geral implícita vem de
psi(x,y) = C,
isto é,
x^2 + x,y^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^2 + x,y^2 = C

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