Exercício 11. Seja A subset C um aberto e convexo. Suponha que f: A C é contínua e
integralgamma f(z) d z=0 para todo triãngulo gamma subset A ã
Mostre que f admite primitiva em A.

Passo 1

O enunciado parte de que AsubsetC é aberto e convexo, e que fcolon AtoC é contínua com
integralgammaf(z),dz=0
para todo triângulo gammasubset A. O objetivo é mostrar que existe uma função Fcolon AtoC tal que F'(z)=f(z) em A. Vamos usar o fato de que em domínios convexos podemos integrar sempre ao longo do segmento retilíneo, e que a condição de integral zero em todo triângulo garante independência de caminho.

Passo 2

Escolha um ponto fixo z0in A. Para cada win A, como A é convexo, o segmento sigmaz0,w=z0+t(w-z0)mid 0<= t<=1 está todo em A. Definimos
F(w)=integralsigmaz0,wf(z),dz
Essa definição é bem-posta porque há apenas um caminho considerado (o segmento).

Passo 3

Para mostrar que F é diferenciável e F'(w)=f(w), usamos a diferença incremental. Seja hinC pequeno tal que w+hin A. Então
F(w+h)-F(w) =integralsigmaz0,w+hf(z),dz-integralsigmaz0,wf(z),dz =integralsigmaw,w+hf(z),dz,
onde sigmaw,w+h é o segmento de w a w+h. Parametrizando z=w+th, tin[0,1], obtemos
integralsigmaw,w+hf(z),dz =integral0^1f(w+th),h,dt =hintegral0^1f(w+th),dt
Logo
F(w+h)-F(w)h =integral0^1f(w+th),dt
Pela continuidade de f, quando hto0 o integrando f(w+th) tende a f(w) uniformemente em t, de modo que
limhto0F(w+h)-F(w)h =integral0^1f(w),dt =f(w)
Isso prova que F é diferenciável e F'(w)=f(w).

Resposta

A função
F(w)=integralsigmaz0,wf(z),dz
é uma primitiva de f em A, pois F'(w)=f(w).

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