Exercício 11. Seja
um aberto e convexo. Suponha que
é contínua e
Mostre que
admite primitiva em
.
Passo 1
O enunciado parte de que
é aberto e convexo, e que
é contínua com
para todo triângulo
. O objetivo é mostrar que existe uma função
tal que
em
. Vamos usar o fato de que em domínios convexos podemos integrar sempre ao longo do segmento retilíneo, e que a condição de integral zero em todo triângulo garante independência de caminho.
Passo 2
Escolha um ponto fixo
. Para cada
, como
é convexo, o segmento
está todo em
. Definimos
Essa definição é bem-posta porque há apenas um caminho considerado (o segmento).
Passo 3
Para mostrar que
é diferenciável e
, usamos a diferença incremental. Seja
pequeno tal que
. Então
onde
é o segmento de
a
. Parametrizando
,
, obtemos
Logo
Pela continuidade de
, quando
o integrando
tende a
uniformemente em
, de modo que
Isso prova que
é diferenciável e
.
Resposta
A função
é uma primitiva de
em
, pois
.