Exercício 9. Prove Teorema: Seja gamma:[a, b] C uma curva fechada e suave por partes. Então:
(a) m(gamma, z0) in Z para todo z0 in C.
(b) A função f: C backslash|gamma| C definida por
z mapsto m(gamma, z)
é analítica.
(c) A função f: C backslash|gamma| C é constante em cada componente conexa de C backslash|gamma| e f(z)=0 para todo z pertencente ao componente infinito de C backslash|gamma|.

Passo 1

O enunciado trata do número de voltas (winding number) de uma curva fechada suave por partes gamma:[a,b]toC em torno de um ponto z0. Definimos
m(gamma,z0)=12pi iintegralgammadzetazeta - z0,
e precisamos mostrar:
(a) m(gamma,z0)inZ para todo z0inCsetminus|gamma|.
(b) A função f(z)=m(gamma,z) é analítica em Csetminus|gamma|.
(c) Em cada componente conexa de Csetminus|gamma|, f é constante, e na componente infinita vale f(z)=0.

Passo 2

Prova de (a): como gamma é fechada, para z0notin|gamma| a função
tmapsto w(t)=gamma(t)-z0
não passa pela origem, e podemos escolher uma determinação contínua de argumento theta:[a,b]toR tal que
w(t)=|w(t)|e^itheta(t)
Então
w'(t)w(t)=itheta'(t),
logo
m(gamma,z0) =12pi iintegrala^bw'(t)w(t),dt =12pil[theta(b)-theta(a)r]
Como gamma(a)=gamma(b) implica theta(b)-theta(a)in2piZ, segue m(gamma,z0)inZ.

Passo 3

Prova de (b): considere
f(z)=12pi iintegralgammadzetazeta - z
Para znotin|gamma| o integrando 1zeta-z é contínuo em zeta e holomorfo em z, e a curva gamma é fixa e de comprimento finito. Pelo teorema de diferenciação sob o sinal de integral, existe
f'(z) =12pi iintegralgammadzeta(zeta - z)^2,
o que mostra que f é analítica em Csetminus|gamma|.

Passo 4

Prova de (c): como integrando zetamapsto1/(zeta-z)^2 é holomorfo em zeta no interior da curva (já que znotin|gamma|), o teorema de Cauchy dá
f'(z)=0
em cada componente conexa, logo f é constante nessas componentes. Para a componente infinita, tome z com |z| maior que todo ponto de |gamma|. Em seguida use a expansão em série de potências
1zeta - z =-sumn=0^inftyzeta^nz^n+1,
válida quando |zeta|<|z|. Então
m(gamma,z) =-12pi isumn=0^infty1z^n+1integralgammazeta^n,dzeta =0
pois integralgammazeta^ndzeta=0 (polinômios têm primitiva). Portanto f(z)=0 na componente infinita.

Resposta

(a) m(gamma,z0)inZ
(b) f(z)=m(gamma,z) é analítica em Csetminus|gamma|.
(c) f é constante em cada componente de Csetminus|gamma| e f(z)=0 na componente infinita.

Exercícios relacionados