Exercício 9. Prove Teorema: Seja
uma curva fechada e suave por partes. Então:
(a)
para todo
.
(b) A função
definida por
é analítica.
(c) A função
é constante em cada componente conexa de
e
para todo z pertencente ao componente infinito de
.
(a)
(b) A função
(c) A função
Passo 1
O enunciado trata do número de voltas (winding number) de uma curva fechada suave por partes
em torno de um ponto
. Definimos
e precisamos mostrar:
(a) para todo
.
(b) A função é analítica em
.
(c) Em cada componente conexa de ,
é constante, e na componente infinita vale
.
(a)
(b) A função
(c) Em cada componente conexa de
Passo 2
Prova de (a): como
é fechada, para
a função
não passa pela origem, e podemos escolher uma determinação contínua de argumento
tal que
Então
logo
Como
implica
, segue
.
Passo 3
Prova de (b): considere
Para
o integrando
é contínuo em
e holomorfo em
, e a curva
é fixa e de comprimento finito. Pelo teorema de diferenciação sob o sinal de integral, existe
o que mostra que
é analítica em
.
Passo 4
Prova de (c): como integrando
é holomorfo em
no interior da curva (já que
), o teorema de Cauchy dá
em cada componente conexa, logo
é constante nessas componentes. Para a componente infinita, tome
com
maior que todo ponto de
. Em seguida use a expansão em série de potências
válida quando
. Então
pois
(polinômios têm primitiva). Portanto
na componente infinita.
Resposta
(a)
(b) é analítica em
.
(c) é constante em cada componente de
e
na componente infinita.
(b)
(c)