Exercício 10. Calcule
integral|z|=2 e^pi zz^2+1 d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
integral|z|=2 e^pi zz^2+1,dz
O conteúdo é teoria de funções de variável complexa, mais especificamente o Teorema dos Resíduos. Vamos identificar os polos de f(z)=e^pi zz^2+1, verificar quais estão dentro do círculo |z|=2, calcular os resíduos e aplicar o teorema.

Passo 2

Encontramos os zeros do denominador:
z^2+1=0 Longrightarrow z=iou z=-i
Como |i|=1<2 e |-i|=1<2, ambos os polos são simples e estão dentro do contorno |z|=2.

Passo 3

Pelo Teorema dos Resíduos, como não há outros singularidades dentro de ,

Passo 4

Para um polo simples ,
Logo,

Passo 5

Somando os resíduos:

Passo 6

Portanto, a integral vale
integral|z|=2 e^pi zz^2+1,dz =2pi icdot 0 =0

Resposta

0

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