Exercício 11 Sejam
matrizes reais
. Mostre que se
, então
.
Passo 1
O enunciado envolve matrizes reais
e
de ordem
e o núcleo (ou espaço nulo) de uma matriz. Precisamos usar a definição de núcleo e uma propriedade básica de matrizes que anulam todo o espaço para concluir que
.
Passo 2
Por definição, o núcleo de uma matriz
é
A hipótese diz que
ou seja, para todo vetor
vale
Isso implica que
Passo 3
Se uma matriz
satisfaz
para todo
, então cada coluna de
é o vetor zero. De fato, tomando os vetores da base canônica
, temos
Como isso vale para todo
, a matriz
é a matriz nula.
Passo 4
Daí conclui-se que