Exercício 11 Sejam A, B matrizes reais n \times n. Mostre que se N(A-B)=\mathbb{R}^{n}, então A=B.

Passo 1

O enunciado envolve matrizes reais A e B de ordem n e o núcleo (ou espaço nulo) de uma matriz. Precisamos usar a definição de núcleo e uma propriedade básica de matrizes que anulam todo o espaço para concluir que A=B.

Passo 2

Por definição, o núcleo de uma matriz C é
N\text{(C)}=\{x\in\mathbb{R}^n \mid Cx=0\}.
A hipótese diz que
N(A - B)=\mathbb{R}^n,
ou seja, para todo vetor x\in\mathbb{R}^n vale
(A - B)x = 0.
Isso implica que
Ax = Bx \quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}^n.

Passo 3

Se uma matriz C=A-B satisfaz Cx=0 para todo x\in\mathbb{R}^n, então cada coluna de C é o vetor zero. De fato, tomando os vetores da base canônica e_j, temos
C\,e_j=0 \quad\Longrightarrow\quad \text{j-ésima coluna de }C\text{ é }0.éé
Como isso vale para todo j=1,\dots,n, a matriz C é a matriz nula.

Passo 4

Daí conclui-se que
A - B = 0 \quad\Longrightarrow\quad A = B.

Resposta

A = B

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