Estabeleça condições sobre a, b e c para que cada sistema abaixo seja possível indeterminado
\left\{\begin{array}{l}x+y-z=a \\\\ -x+2 z=b \\\ y+z=c\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x + y - z = a,\\\\ -\,x + 2z = b,\\\ y + z = c, \end{cases}
e pede condições em a,b,c para que ele tenha infinitas soluções (sistema possível indeterminado). Para isso, vamos usar a teoria de compatibilidade de sistemas lineares via posto (rank) da matriz de coeficientes e da matriz ampliada.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ -1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante para verificar se o posto é menor que 3:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}0&2\\\ 1&1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&2\\\ 0&1\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} =-2-(-1)+1=0.
Como \det(A)=0, segue que \operatorname{rank}(A)<3.

Passo 3

Para ter infinitas soluções precisamos \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid\mathbf b])<3. Primeiro confirmamos \operatorname{rank}(A)=2 exibindo um menor de ordem 2 não nulo. Por exemplo, o menor formado pelas linhas 1 e 2 e colunas 1 e 2 é
\det\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&0\end{pmatrix} =1\cdot0-1\cdot(-1)=1\neq0.
Logo \operatorname{rank}(A)\ge2, e portanto \operatorname{rank}(A)=2.

Passo 4

Para que o sistema seja compatível, deve valer \operatorname{rank}([A\mid\mathbf b])=2. Há uma relação linear entre as três equações:
(\text{Eq1})+(\text{Eq2})-(\text{Eq3})\;\equiv\;0.
Aplicando os mesmos coeficientes aos termos independentes resulta
a + b - c = 0.

Resposta

a + b - c = 0

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