Estabeleça condições sobre a, b e c para que cada sistema abaixo seja possível indeterminado \left\{\begin{array}{l}x+y-z=a \\\\ -x+2 z=b \\\ y+z=c\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x + y - z = a,\\\\ -\,x + 2z = b,\\\ y + z = c, \end{cases}
e pede condições em a,b,c para que ele tenha infinitas soluções (sistema possível indeterminado). Para isso, vamos usar a teoria de compatibilidade de sistemas lineares via posto (rank) da matriz de coeficientes e da matriz ampliada.
Como \det(A)=0, segue que \operatorname{rank}(A)<3.
Passo 3
Para ter infinitas soluções precisamos \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid\mathbf b])<3. Primeiro confirmamos \operatorname{rank}(A)=2 exibindo um menor de ordem 2 não nulo. Por exemplo, o menor formado pelas linhas 1 e 2 e colunas 1 e 2 é