Exercício 6 Nos itens abaixo verifique se o vetor b esta no espaço coluna de A.
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\\ 1 & 1 & 2 \\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right], \quad e \quad b=(1,2,3)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
e o vetor
b = (1,2,3).
Queremos verificar se b pertence ao espaço coluna de A. Lembrando que o espaço coluna de A é o conjunto de todas as combinações lineares de suas colunas, e que para testar isso basta verificar se existe x\in\mathbb{R}^3 tal que
Ax = b.

Passo 2

Escrevendo x=(x_1,x_2,x_3), o produto Ax gera três equações idênticas na forma
x_1 + x_2 + 2x_3 = \text{entrada correspondente de }b.
Portanto obtemos o sistema
\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 = 1,\\\ x_1 + x_2 + 2x_3 = 2,\\\ x_1 + x_2 + 2x_3 = 3. \end{cases}

Passo 3

Não há como o mesmo valor x_1 + x_2 + 2x_3 ser simultaneamente 1, 2 e 3. Isso gera a contradição de exigir, por exemplo, 1 = 2, o que é impossível. Logo, o sistema é inconsistente e não existe solução.

Resposta

O vetor b não está no espaço coluna de A.

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