Exercício 11. Sejam
e
subespaços vetoriais do espaço vetorial real (
), que têm dimensões 2 e 3, respectivamente.
(a) Mostre que a dimensão do subespaço vetorial
deverá ser, pelo menos, 1 .
(b) O que ocorre se a dimensão do subespaço vetorial
for igual a 2 ?
(c) A dimensão do subespaço vetorial
pode ser igual a 3 ?
(a) Mostre que a dimensão do subespaço vetorial
(b) O que ocorre se a dimensão do subespaço vetorial
(c) A dimensão do subespaço vetorial
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subespaços de
com
e
. Vamos usar a fórmula fundamental para subespaços:
e o fato de que
implica
.
Passo 2
Da fórmula
e da desigualdade
segue
Isso responde o item (a).
Passo 3
Se
, como
, então
. Isso só pode ocorrer se
, pois todo vetor de
está também em
. Em particular,
e
.
Passo 4
Não pode ocorrer
, porque em geral
. Logo a interseção nunca alcança dimensão 3.
Resposta
(a)
.
(b) Se , então
.
(c) Não, não pode ser 3.
(b) Se
(c) Não,