Exercício 11. Sejam U e W subespaços vetoriais do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{4},+, \cdot ), que têm dimensões 2 e 3, respectivamente.
(a) Mostre que a dimensão do subespaço vetorial U \cap W deverá ser, pelo menos, 1 .
(b) O que ocorre se a dimensão do subespaço vetorial U \cap W for igual a 2 ?
(c) A dimensão do subespaço vetorial U \cap W pode ser igual a 3 ?

Passo 1

O enunciado diz que U e W são subespaços de \mathbb{R}^4 com \dim(U)=2 e \dim(W)=3. Vamos usar a fórmula fundamental para subespaços:
\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)
e o fato de que U+W\subseteq\mathbb{R}^4 implica \dim(U+W)\le4.

Passo 2

Da fórmula
\dim(U+W)=2+3-\dim(U\cap W)
e da desigualdade \dim(U+W)\le4 segue
2+3-\dim(U\cap W)\le4 \quad\Longrightarrow\quad 5-\dim(U\cap W)\le4 \quad\Longrightarrow\quad \dim(U\cap W)\ge1.
Isso responde o item (a).

Passo 3

Se \dim(U\cap W)=2, como \dim(U)=2, então \dim(U\cap W)=\dim(U). Isso só pode ocorrer se U\subseteq W, pois todo vetor de U está também em W. Em particular, U+W=W e \dim(U+W)=3.

Passo 4

Não pode ocorrer \dim(U\cap W)=3, porque em geral \dim(U\cap W)\le\min\{\dim(U),\dim(W)\}=\min\{2,3\}=2. Logo a interseção nunca alcança dimensão 3.

Resposta

(a) \dim(U\cap W)\ge1.
(b) Se \dim(U\cap W)=2, então U\subseteq W.
(c) Não, \dim(U\cap W) não pode ser 3.

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