Exercício 13. Seja
e considere em
as seguintes operações:
(a) Mostre que (
, .) é um espaço vetorial sobre
.
(b) O subconjunto
é uma base para o espaço vetorial real (
. )? Justifique sua resposta.
(c) Determine uma base e a dimensão do espaço vetorial real (
. ).
(b) O subconjunto
(c) Determine uma base e a dimensão do espaço vetorial real (
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
com as operações
e pede para (a) verificar que
é um espaço vetorial real, (b) ver se
é base, e (c) encontrar uma base e a dimensão.
Conteúdo: axiomas de espaço vetorial, independência e geração, dimensão.
Conteúdo: axiomas de espaço vetorial, independência e geração, dimensão.
Passo 2
Verificação dos axiomas de espaço vetorial sobre
:
- Fechamento em
: se então . - Comutatividade e associatividade de
vêm da multiplicação em . - Elemento neutro:
satisfaz ;;como escolhemos . - Inverso aditivo: para
existe tal que ;;isto é, . - Fechamento em
: se e então . - Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de vetores:
- Distributividade sobre soma de escalares:
- Compatibilidade de escalares:
- Elemento neutro escalar:
Logo todos os axiomas são satisfeitos e
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 3
(b) Verificar se
é base:
– Geração: qualquer combinação linear de é
.
Logo .
Portanto não gera todo
e não é base.
– Geração: qualquer combinação linear de
Logo
Portanto
Passo 4
(c) Encontrar uma base e a dimensão.
Como sabemos que é isomorfo a
via
, segue que
.
Por exemplo, tome .
Como sabemos que
Por exemplo, tome
- Geração: dado
, escrevemos , pois
- Independência: se
então implica .
Logoé conjunto gerador e linearmente independente, ou seja, é uma base.
Resposta
Uma base é
(ou, de modo geral, qualquer singleton
com
,
), e