Exercício 13. Seja V \doteq\{x \in \mathbb{R} ; x>0\} e considere em V as seguintes operações:
u \oplus v \doteq u v \quad \text { e } \quad \alpha \odot u \doteq u^{\alpha}
(a) Mostre que ( V,+, .) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
(b) O subconjunto \mathcal{B} \doteq\{1\} é uma base para o espaço vetorial real ( V,+,. )? Justifique sua resposta.
(c) Determine uma base e a dimensão do espaço vetorial real ( V,+,. ).

Passo 1

O enunciado define o conjunto \displaystyle V=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}
com as operações
u\oplus v \doteq uv, \qquad \alpha\odot u \doteq u^\alpha,
e pede para (a) verificar que (V,\oplus,\odot) é um espaço vetorial real, (b) ver se \{1\} é base, e (c) encontrar uma base e a dimensão.
Conteúdo: axiomas de espaço vetorial, independência e geração, dimensão.

Passo 2

Verificação dos axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}:
  1. Fechamento em \oplus: se u,v>0 então u\oplus v=uv>0.
  2. Comutatividade e associatividade de \oplus vêm da multiplicação em \mathbb{R}.
  3. Elemento neutro: 0_V satisfaz u\oplus0_V=u;;como u\cdot1=u escolhemos 0_V=1.
  4. Inverso aditivo: para u>0 existe -u tal que u\oplus(-u)=1;;isto é, -u=1/u.
  5. Fechamento em \odot: se u>0 e \alpha\in\mathbb{R} então u^\alpha>0.
  6. Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de vetores:
\alpha\odot(u\oplus v)=(uv)^\alpha=u^\alpha v^\alpha =(\alpha\odot u)\oplus(\alpha\odot v).
  1. Distributividade sobre soma de escalares:
(\alpha+\beta)\odot u=u^{\alpha+\beta}=u^\alpha u^\beta =(\alpha\odot u)\oplus(\beta\odot u).
  1. Compatibilidade de escalares:
(\alpha\beta)\odot u=u^{\alpha\beta}=(u^\alpha)^\beta =\beta\odot(\alpha\odot u).
  1. Elemento neutro escalar:
1\odot u=u^1=u.
Logo todos os axiomas são satisfeitos e (V,\oplus,\odot) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 3

(b) Verificar se \mathcal{B}=\{1\} é base:
– Geração: qualquer combinação linear de 1 é \alpha\odot1=1^\alpha=1.
Logo \mathrm{span}\,\{1\}=\{1\}\neq V.
Portanto \{1\} não gera todo V e não é base.

Passo 4

(c) Encontrar uma base e a dimensão.
Como sabemos que V é isomorfo a (\mathbb{R},+) via \ln, segue que \dim V=1.
Por exemplo, tome \displaystyle e\in V.
  1. Geração: dado u>0, escrevemos \alpha=\ln(u), pois
\alpha\odot e=e^{\ln(u)}=u.
  1. Independência: se \alpha\odot e=1 então e^\alpha=1 implica \alpha=0.
    Logo \{e\} é conjunto gerador e linearmente independente, ou seja, é uma base.

Resposta

Uma base é \{e\} (ou, de modo geral, qualquer singleton \{a\} com a>0, a\neq1), e
\dim(V,\oplus,\odot)=1.

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