Sejam U e W os seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{4},+, \cdot ):
U \doteq\{(a, b, c, d) ; b-2 c+d=0\} \quad \text { e } \quad W \doteq\{(a, b, c, d) ; a=d, b=2 c\} .
Ache uma base e a dimensão dos seguintes susbespaços vetoriais do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{4},+, \cdot ):
(a) U

Passo 1

O enunciado define o subespaço
U = \{(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4 \mid b - 2c + d = 0\}
e pede uma base e a dimensão de U. O conteúdo aqui é resolver uma única equação linear em \mathbb{R}^4, parametrizar as variáveis livres e extrair vetores geradores que sejam linearmente independentes.

Passo 2

Da equação que define U, temos
b - 2c + d = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = 2c - d.
Podemos então escolher a, c e d como parâmetros livres.

Passo 3

Escrevendo o vetor genérico de U em função de a, c e d,
(a,b,c,d) = \bigl(a,\;2c - d,\;c,\;d\bigr) = a\,(1,0,0,0) \;+\; c\,(0,2,1,0) \;+\; d\,(0,-1,0,1).
Os vetores (1,0,0,0), (0,2,1,0) e (0,-1,0,1) são linearmente independentes e geram todo U.

Resposta

Uma base de U é \{(1,0,0,0),\,(0,2,1,0),\,(0,-1,0,1)\}
e \dim(U)=3.

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