Exercício 11. Sendo \alpha um ângulo agudo num triângulo retângulo qualquer, prove que
\operatorname{sen} \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha=\operatorname{sen}^{2} \alpha

Passo 1

O enunciado dá que \alpha é um ângulo agudo num triângulo retângulo qualquer e pede para provar a igualdade
\operatorname{sen}\alpha\cdot\cos\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha=\operatorname{sen}^{2}\alpha.
Informações relevantes fornecidas:
  • \alpha é um ângulo interno de um triângulo retângulo (logo 0<\alpha<\tfrac{\pi}{2}, ou seja, é agudo).
  • Deve-se mostrar que o produto das três razões trigonométricas dadas é igual ao quadrado de \operatorname{sen}\alpha.

Passo 2

Definições básicas (num triângulo retângulo): etiquetemos os lados relativos a \alpha assim:
  • cateto oposto a \alpha: a,
  • cateto adjacente a \alpha: b,
  • hipotenusa: c.
As razões trigonométricas ficam então definidas por:
\operatorname{sen}\alpha=\frac{a}{c},\qquad \cos\alpha=\frac{b}{c},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}.
Explicação rápida: \operatorname{sen}\alpha é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa; \cos\alpha é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa; \operatorname{tg}\alpha é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Essas são definições usuais em trigonometria para ângulos agudos em triângulos retângulos.

Passo 3

Derivar a relação \operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha} a partir das definições:
\frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\dfrac{a}{c}}{\dfrac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\operatorname{tg}\alpha.
Aqui usei que dividir frações é multiplicar pela recíproca. Essa identidade é fundamental e válida sempre que \cos\alpha\neq0; como \alpha é agudo, \cos\alpha>0 e portanto a divisão é permitida.

Passo 4

Agora substituo \operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha} no produto pedido:
\operatorname{sen}\alpha\cdot\cos\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha =\operatorname{sen}\alpha\cdot\cos\alpha\cdot\frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}.
Observe que neste produto aparece um fator \cos\alpha multiplicando e outro \cos\alpha no denominador, então eles se cancelam (porque \cos\alpha\neq0), ficando
\operatorname{sen}\alpha\cdot\cancel{\cos\alpha}\cdot\frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cancel{\cos\alpha}}=\operatorname{sen}\alpha\cdot\operatorname{sen}\alpha=\operatorname{sen}^{2}\alpha.

Passo 5

Alternativa — verificação direta com as razões em termos de a,b,c: substituir \operatorname{sen}\alpha=\dfrac{a}{c}, \cos\alpha=\dfrac{b}{c}, \operatorname{tg}\alpha=\dfrac{a}{b} no produto:
\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a\cdot b\cdot a}{c\cdot c\cdot b}=\frac{a^{2}}{c^{2}}=\left(\frac{a}{c}\right)^{2}=\operatorname{sen}^{2}\alpha,
mostrando o mesmo resultado por simplificação algébrica direta.

Passo 6

Comentário final e garantia: a igualdade foi obtida usando apenas as definições das razões trigonométricas e manipulação algébrica elementar; a única condição usada foi \cos\alpha\neq0, satisfeita porque \alpha é agudo. Portanto a igualdade é verdadeira para qualquer ângulo agudo em triângulo retângulo.

Resposta

\operatorname{sen}\alpha\cdot\cos\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha=\operatorname{sen}^{2}\alpha

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