Exercício 11. Sendo
um ângulo agudo num triângulo retângulo qualquer, prove que
Passo 1
O enunciado dá que
é um ângulo agudo num triângulo retângulo qualquer e pede para provar a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
-
é um ângulo interno de um triângulo retângulo (logo , ou seja, é agudo). - Deve-se mostrar que o produto das três razões trigonométricas dadas é igual ao quadrado de
.
Passo 2
Definições básicas (num triângulo retângulo): etiquetemos os lados relativos a
assim:
- cateto oposto a
: , - cateto adjacente a
: , - hipotenusa:
.
As razões trigonométricas ficam então definidas por:
Explicação rápida:
é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa;
é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa;
é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Essas são definições usuais em trigonometria para ângulos agudos em triângulos retângulos.
Passo 3
Derivar a relação
a partir das definições:
Aqui usei que dividir frações é multiplicar pela recíproca. Essa identidade é fundamental e válida sempre que
; como
é agudo,
e portanto a divisão é permitida.
Passo 4
Agora substituo
no produto pedido:
Observe que neste produto aparece um fator
multiplicando e outro
no denominador, então eles se cancelam (porque
), ficando
Passo 5
Alternativa — verificação direta com as razões em termos de
: substituir
,
,
no produto:
mostrando o mesmo resultado por simplificação algébrica direta.
Passo 6
Comentário final e garantia: a igualdade foi obtida usando apenas as definições das razões trigonométricas e manipulação algébrica elementar; a única condição usada foi
, satisfeita porque
é agudo. Portanto a igualdade é verdadeira para qualquer ângulo agudo em triângulo retângulo.