Exercício 11 Um sistema de transmissão de energia elétrica em uma região remota utiliza transformadores que possuem uma taxa de falha crítica de 4 % devido a sobrecargas repentinas. Um engenheiro de manutenção monitora os transformadores sequencialmente até encontrar o primeiro com falha.
(a) Qual a probabilidade de a primeira falha ser detectada exatamente no 5^circ transformador analisado?
(b) Calcule a probabilidade de que a primeira falha ocorra antes ou no 3^0 transformador?

Passo 1

O enunciado descreve um monitoramento sequencial de transformadores até encontrar o primeiro que falha. A falha crítica ocorre com probabilidade p=0,04. O número de transformador em que aparece a primeira falha segue uma distribuição geométrica de parâmetro p.

Passo 2

Para o caso (a), queremos a probabilidade de detectar a primeira falha exatamente no 5^circ transformador. Na distribuição geométrica vale
P(X=k) = (1-p)^,k-1,p
Substituindo k=5 e p=0,04,
P(X=5) = (1-0,04)^4times 0,04 = (0,96)^4times 0,04

Passo 3

Calculando numericamente,
(0,96)^2=0,9216, (0,96)^4=(0,9216)^2approx 0,84934656,
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P(X=5)approx 0,84934656times 0,04approx 0,03397386

Passo 4

Para o caso (b), queremos a probabilidade de a primeira falha ocorrer antes ou no 3^circ transformador, isto é
P(X<= 3)=sumk=1^3P(X=k)=1-(1-p)^3=1-(0,96)^3

Passo 5

Calculando numericamente,
(0,96)^3approx 0,884736,
portanto
P(X<= 3)approx 1-0,884736=0,115264

Resposta

(a) P(X=5)=(0,96)^4cdot0,04approx0,03397.
(b) P(X<=3)=1-(0,96)^3approx0,11526.

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