Exercício 9 Sabe-se que cada realização de um experimento pode ser bem sucedida (sucesso) ou não (fracasso) e que a probabilidade de sucesso é três vezes maior do que a probabilidade de fracasso. Suponha que o experimento seja realizado 4 vezes de forma independente e seja X o número de realizações bem sucedidas do experimento. Determine a função de probabilidades de X e esboce o seu gráfico.

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de Bernoulli repetido n=4 vezes, onde cada realização pode ser sucesso ou fracasso, com probabilidade de sucesso três vezes maior que a de fracasso. Definimos X como o número de sucessos nas 4 tentativas. O conteúdo é distribuição binomial, e para resolver precisamos encontrar p=P(sucesso) e usar a fórmula da função de probabilidade binomial.

Passo 2

Seja p=P(sucesso) e q=P(fracasso). Sabemos que
p = 3q e p+q = 1
Substituindo q = 1-p em p=3q obtém-se
p = 3(1-p) ;Longrightarrow; p = 3 - 3p ;Longrightarrow; 4p = 3 ;Longrightarrow; p = tfrac34,
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q = 1 - p = tfrac14

Passo 3

Para XsimBin(n=4,p=tfrac34), a função de probabilidade é
P(X=k) = binom4k,p^k,q^4-k, k=0,1,2,3,4

Passo 4

Calculando cada termo:
P(X=0) = binom40l(tfrac34r)^0l(tfrac14r)^4 = 1cdot1cdottfrac1256 = tfrac1256,
P(X=1) = binom41l(tfrac34r)^1l(tfrac14r)^3 = 4cdottfrac34cdottfrac164 = tfrac364,
P(X=2) = binom42l(tfrac34r)^2l(tfrac14r)^2 = 6cdottfrac916cdottfrac116 = tfrac54256 = tfrac27128,
P(X=3) = binom43l(tfrac34r)^3l(tfrac14r)^1 = 4cdottfrac2764cdottfrac14 = tfrac108256 = tfrac2764,
P(X=4) = binom44l(tfrac34r)^4l(tfrac14r)^0 = 1cdottfrac81256cdot1 = tfrac81256

Passo 5

O gráfico de P(X=k) é um histograma de barras com base em k=0,1,2,3,4 e alturas iguais aos valores acima. Em particular, as barras crescem de k=0 até k=3 e depois caem em k=4, mostrando a forma típica assimétrica para p>tfrac12.

Resposta

P(X=k) = binom4kl(tfrac34r)^kl(tfrac14r)^4-k, k=0,1,2,3,4,
com valores numéricos
P(0)=tfrac1256,; P(1)=tfrac364,; P(2)=tfrac27128,; P(3)=tfrac2764,; P(4)=tfrac81256
O esboço do gráfico é um histograma de probabilidade com estas alturas em k=0,1,2,3,4.

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