Exercício 12. A vazão de água em um tubo (em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ) é dada por:
Q(t)=\frac{5 t^{2}+3 t}{t^{2}+1}
onde t é o tempo (em segundos).
Aplique a regra do quociente para determinar a taxa de variação da vazão.
Encontre a derivada segunda de Q(t) e discuta seu significado (ex.: aceleração do fluxo).

Passo 1

O enunciado dá a vazão de água em função do tempo:
Q(t)=\frac{5t^{2}+3t}{t^{2}+1}.
As perguntas são:
  1. Aplicar a regra do quociente para determinar a taxa de variação da vazão, ou seja, encontrar Q'(t).
  2. Encontrar a derivada segunda Q''(t) e discutir o significado físico dessa derivada (por exemplo, como “aceleração do fluxo”).
    Informações relevantes fornecidas: a função racional Q(t) acima, válida para todo t real porque t^{2}+1>0 sempre.

Passo 2

Lembra da regra do quociente (vamos aprender direitinho): se Q(t)=\dfrac{u(t)}{v(t)} com u e v diferenciáveis e v(t)\neq0, então
Q'(t)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^{2}}.
Aqui cada símbolo significa: u(t) é o numerador como função de t, v(t) é o denominador, u'(t) e v'(t) são as derivadas deles em relação a t. Essa regra vem de combinar a regra do produto e a derivada da função inversa — mas na prova basta decorar essa fórmula e saber aplicá-la passo a passo.

Passo 3

Identificamos u e v para o nosso problema e calculamos suas derivadas:
u(t)=5t^{2}+3t,\qquad v(t)=t^{2}+1.
Derivando termo a termo (regra: \frac{d}{dt}(at^{n})=a n t^{n-1}, e \frac{d}{dt}(\text{constante})=0):
u'(t)=10t+3,\qquad v'(t)=2t.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente exatamente como dado:
Q'(t)=\frac{(10t+3)(t^{2}+1)-(5t^{2}+3t)(2t)}{(t^{2}+1)^{2}}.
Vamos desenvolver o numerador com calma (sem pular etapas):
Primeiro produto: (10t+3)(t^{2}+1)=10t^{3}+3t^{2}+10t+3.
Segundo produto: (5t^{2}+3t)(2t)=10t^{3}+6t^{2}.
Subtraindo:
(10t^{3}+3t^{2}+10t+3)-(10t^{3}+6t^{2})=-3t^{2}+10t+3.
Portanto, a derivada primeira fica
Q'(t)=\frac{-3t^{2}+10t+3}{(t^{2}+1)^{2}}.
Se quiser, pode reescrever como
Q'(t)=\frac{-(3t^{2}-10t-3)}{(t^{2}+1)^{2}},
mas a forma \dfrac{-3t^{2}+10t+3}{(t^{2}+1)^{2}} já é boa para trabalhar.

Passo 5

Interpretação prática de Q'(t) (aqui a “aula” rápida): Q'(t) mede a taxa de variação instantânea da vazão, isto é, quantos metros cúbicos por segundo a vazão está aumentando (se Q'(t)>0) ou diminuindo (se Q'(t)<0) por segundo. A unidade de Q'(t) é \mathrm{m}^{3}\!/\mathrm{s}^{2}. Como exemplo numérico rápido (útil na prova para checar sinais): em t=0
Q'(0)=\frac{-3\cdot0^{2}+10\cdot0+3}{(0^{2}+1)^{2}}=\frac{3}{1}=3,
ou seja, no instante t=0 a vazão está aumentando a 3\\ \mathrm{m}^{3}\!/\mathrm{s}^{2}.

Passo 6

Agora vamos achar a derivada segunda Q''(t). Podemos diferenciar Q'(t)=\dfrac{n(t)}{d(t)} com
n(t)=-3t^{2}+10t+3,\qquad d(t)=(t^{2}+1)^{2}.
Usamos novamente a regra do quociente:
Q''(t)=\frac{n'(t)\,d(t)-n(t)\,d'(t)}{[d(t)]^{2}}.
Calculamos as derivadas:
n'(t)=-6t+10.
Para d(t)=(t^{2}+1)^{2} usamos a regra da cadeia: se d=(g(t))^{2} então d'=2g(t)g'(t). Aqui g(t)=t^{2}+1 e g'(t)=2t, portanto
d'(t)=2(t^{2}+1)\cdot 2t=4t(t^{2}+1).

Passo 7

Agora montamos o numerador de Q''(t) com cuidado e simplificamos onde possível:
\text{numerador} = (-6t+10)(t^{2}+1)^{2} - (-3t^{2}+10t+3)\cdot 4t(t^{2}+1).
Fatoramos (t^{2}+1) em comum para simplificar:
\text{numerador}=(t^{2}+1)\Big[(-6t+10)(t^{2}+1)-4t(-3t^{2}+10t+3)\Big].
Agora desenvolvemos o colchete passo a passo:
(-6t+10)(t^{2}+1)=-6t^{3}+10t^{2}-6t+10,
4t(-3t^{2}+10t+3)=-12t^{3}+40t^{2}+12t.
Subtraindo (primeiro menos segundo) dá:
(-6t^{3}+10t^{2}-6t+10)-(-12t^{3}+40t^{2}+12t)=6t^{3}-30t^{2}-18t+10.
Logo o numerador completo é
(t^{2}+1)\big(6t^{3}-30t^{2}-18t+10\big).
O denominador de Q''(t) é [d(t)]^{2}=(t^{2}+1)^{4}. Cancelamos um fator (t^{2}+1) e obtemos a forma simplificada:

Passo 8

A derivada segunda fica
Q''(t)=\frac{6t^{3}-30t^{2}-18t+10}{(t^{2}+1)^{3}}.
Podemos também tirar um fator 2 no numerador:
Q''(t)=\frac{2(3t^{3}-15t^{2}-9t+5)}{(t^{2}+1)^{3}},
mas a expressão anterior já é adequada.

Passo 9

Interpretação física de Q''(t): essa derivada mede a variação da taxa de variação da vazão — em termos físicos, é a “aceleração” do fluxo (unidade \mathrm{m}^{3}\!/\mathrm{s}^{3} na interpretação dimensional se você diferenciar duas vezes no tempo).
  • Se Q''(t)>0: a taxa Q'(t) está aumentando — a vazão está acelerando (mesmo que a vazão possa ainda ser negativa, Q' pode estar se tornando menos negativa).
  • Se Q''(t)<0: a taxa Q'(t) está diminuindo — há desaceleração do fluxo.
    Exemplo rápido: em t=0,
Q''(0)=\frac{6\cdot0^{3}-30\cdot0^{2}-18\cdot0+10}{(0^{2}+1)^{3}}=\frac{10}{1}=10,
ou seja, no instante t=0 a taxa de variação da vazão está aumentando a 10 (unidades adequadas), indicando aceleração positiva do fluxo naquele instante.
Na prova, para discutir comportamento em geral você pode checar o sinal de Q'(t) e Q''(t) avaliando sinais ou zeros dos numeradores, lembrando que o denominador (t^{2}+1)^{k} é sempre positivo.

Resposta

Q'(t)=\frac{-3t^{2}+10t+3}{(t^{2}+1)^{2}}
Q''(t)=\frac{6t^{3}-30t^{2}-18t+10}{(t^{2}+1)^{3}}

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