Exercício 12. A vazão de água em um tubo (em
) é dada por:
onde
é o tempo (em segundos).
Aplique a regra do quociente para determinar a taxa de variação da vazão.
Encontre a derivada segunda de
e discuta seu significado (ex.: aceleração do fluxo).
Aplique a regra do quociente para determinar a taxa de variação da vazão.
Encontre a derivada segunda de
Passo 1
O enunciado dá a vazão de água em função do tempo:
As perguntas são:
- Aplicar a regra do quociente para determinar a taxa de variação da vazão, ou seja, encontrar
. - Encontrar a derivada segunda
e discutir o significado físico dessa derivada (por exemplo, como “aceleração do fluxo”).
Informações relevantes fornecidas: a função racionalacima, válida para todo real porque sempre.
Passo 2
Lembra da regra do quociente (vamos aprender direitinho): se
com
e
diferenciáveis e
, então
Aqui cada símbolo significa:
é o numerador como função de
,
é o denominador,
e
são as derivadas deles em relação a
. Essa regra vem de combinar a regra do produto e a derivada da função inversa — mas na prova basta decorar essa fórmula e saber aplicá-la passo a passo.
Passo 3
Identificamos
e
para o nosso problema e calculamos suas derivadas:
Derivando termo a termo (regra:
, e
):
Passo 4
Agora aplicamos a regra do quociente exatamente como dado:
Vamos desenvolver o numerador com calma (sem pular etapas):
Primeiro produto:
Segundo produto:
Subtraindo:
Primeiro produto:
Segundo produto:
Subtraindo:
Portanto, a derivada primeira fica
Se quiser, pode reescrever como
mas a forma
já é boa para trabalhar.
Passo 5
Interpretação prática de
(aqui a “aula” rápida):
mede a taxa de variação instantânea da vazão, isto é, quantos metros cúbicos por segundo a vazão está aumentando (se
) ou diminuindo (se
) por segundo. A unidade de
é
. Como exemplo numérico rápido (útil na prova para checar sinais): em
ou seja, no instante
a vazão está aumentando a
.
Passo 6
Agora vamos achar a derivada segunda
. Podemos diferenciar
com
Usamos novamente a regra do quociente:
Calculamos as derivadas:
Para
usamos a regra da cadeia: se
então
. Aqui
e
, portanto
Passo 7
Agora montamos o numerador de
com cuidado e simplificamos onde possível:
Fatoramos
em comum para simplificar:
Agora desenvolvemos o colchete passo a passo:
Subtraindo (primeiro menos segundo) dá:
Logo o numerador completo é
O denominador de
é
. Cancelamos um fator
e obtemos a forma simplificada:
Passo 8
A derivada segunda fica
Podemos também tirar um fator
no numerador:
mas a expressão anterior já é adequada.
Passo 9
Interpretação física de
: essa derivada mede a variação da taxa de variação da vazão — em termos físicos, é a “aceleração” do fluxo (unidade
na interpretação dimensional se você diferenciar duas vezes no tempo).
- Se
: a taxa está aumentando — a vazão está acelerando (mesmo que a vazão possa ainda ser negativa, pode estar se tornando menos negativa). - Se
: a taxa está diminuindo — há desaceleração do fluxo.
Exemplo rápido: em,
ou seja, no instante
a taxa de variação da vazão está aumentando a
(unidades adequadas), indicando aceleração positiva do fluxo naquele instante.
Na prova, para discutir comportamento em geral você pode checar o sinal de e
avaliando sinais ou zeros dos numeradores, lembrando que o denominador
é sempre positivo.
Na prova, para discutir comportamento em geral você pode checar o sinal de