A função densidade de uma variável aleatória [X) é:
f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}}{81}, & -3<x<6 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á
Encontre a função densidade para a variável aleatória (Y=X^{2}].

Passo 1

O enunciado dá a densidade da variável contínua X\): \[f_X(x)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}}{81},&-3<x<6,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
E pede a densidade de Y=X^{2}\]. Vamos usar o método geral de transformação de variáveis contínuas, que diz que, para cada valor \(y, somamos as contribuições de todas as raízes x_i de y=g(x), usando
f_Y(y)=\sum_{i}\frac{f_X(x_i)}{\bigl|g'(x_i)\bigr|}.

Passo 2

Aqui g(x)=x^2, então g'(x)=2x. A equação y=x^2 tem duas raízes:
x_1=+\sqrt{y}, \quad x_2=-\sqrt{y}.
Mas essas raízes só valem se estiverem no suporte de X, ou seja -3<x<6. Para y\ge0:
  • Se 0<y<9, então \sqrt{y}<3 e -\sqrt{y}>-3, logo ambas as raízes estão em (-3,6).
  • Se 9\le y<36, então \sqrt{y}\in[3,6) (raiz positiva válida) mas -\sqrt{y}\le-3 (raiz negativa sai do suporte).
  • Para y\le0 ou y\ge36, não há raízes em (-3,6), logo f_Y(y)=0.

Passo 3

Aplicando a fórmula para cada ramo:
Para uma raiz x_i,
\frac{f_X(x_i)}{\bigl|g'(x_i)\bigr|} = \frac{\displaystyle\frac{x_i^2}{81}}{\bigl|2x_i\bigr|} = \frac{x_i^2}{81\cdot2|x_i|} = \frac{|x_i|}{162}.
Como |\sqrt{y}|=\sqrt{y} e |-\sqrt{y}|=\sqrt{y}, cada ramo contribui com \sqrt{y}/162.

Passo 4

Agora somamos conforme o número de raízes válidas:
Para 0<y<9 temos duas raízes, então
f_Y(y) = \frac{\sqrt{y}}{162}+\frac{\sqrt{y}}{162} = \frac{2\sqrt{y}}{162} = \frac{\sqrt{y}}{81}.
Para 9\le y<36 temos só a raiz positiva, então
f_Y(y) = \frac{\sqrt{y}}{162}.
Fora desse intervalo f_Y(y)=0.

Resposta

A densidade de Y=X^2 é
f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{y}}{81},&0<y<9,\\[6pt] \dfrac{\sqrt{y}}{162},&9\le y<36,\\[4pt] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á]

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