Exercício 11.3 Você tem um semicondutor intrínsico, um semicondutor tipo-
, e um semicondutor tipo-
. As amostras dopadas possuem a mesma densidade de átomos dopantes. Qual dos três semicondutores você espera que tenha
maior capacidade para carregar corrente quando os três estão conectados à baterias idênticas
maior capacidade para carregar corrente quando os três estão conectados à baterias idênticas
Passo 1
O enunciado pergunta qual, entre três amostras (um semicondutor intrínseco, um semicondutor tipo-
e um semicondutor tipo-
), terá maior capacidade para carregar corrente quando as três estiverem conectadas a baterias idênticas. Informações fornecidas:
- Há três amostras: uma intrínseca, uma dopada tipo-
e uma dopada tipo- . - As amostras dopadas possuem a mesma densidade de átomos dopantes (vou chamar essa densidade de
). - As baterias são idênticas, ou seja, aplicam a mesma diferença de potencial
a cada amostra.
O que o problema pede: identificar qual das três amostras conduzirá mais corrente (ou seja, terá maior correntesob a mesma tensão aplicada).
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar — o que significam as letras que aparecerão:
-
é a carga do elétron (valor absoluto), . -
é a densidade de elétrons livres (portadores de carga negativa), em ou . -
é a densidade de lacunas (holes, portadores positivos). -
é a concentração intrínseca de portadores no semicondutor puro (densidade de elétrons e de lacunas quando não há dopagem). -
é a densidade de doadores (para tipo- ) e a densidade de aceitadores (para tipo- ). O enunciado diz que as amostras dopadas têm a mesma densidade de átomos dopantes, então vou chamar essa densidade comum de e tomar e . -
é a mobilidade dos elétrons (medida de quão rápido os elétrons se movem sob um campo elétrico). -
é a mobilidade das lacunas.
Esses conceitos são suficientes para relacionar dopagem e condutividade.
Passo 3
Como a dopagem gera maior número de portadores majoritários:
- Para um semicondutor tipo-
com dopagem não degenerada e totalmente ionizada, a densidade de elétrons majoritários satisfaz aproximadamente
e a densidade de lacunas (minoritárias) é dada pela relação de equilíbrio de massa de portadores
- Para tipo-
,
e
- Para o semicondutor intrínseco,
Essas aproximações valem quando
é muito maior que
(caso típico em dopagens experimentais).
Passo 4
Agora a relação entre portadores e a capacidade de conduzir corrente: a condutividade elétrica
(siemens por metro) de um semicondutor é dada por
Explicando cada termo:
-
é a contribuição dos elétrons (densidade vezes mobilidade vezes carga). -
é a contribuição das lacunas.
Corrente para uma barra de seção transversale comprimento sob tensão obedece à lei de Ohm macroscópica:
Como as baterias são idênticas e assumimos dimensões iguais das amostras, comparar
é equivalente a comparar
.
Passo 5
Condutividade do semicondutor intrínseco. Como
,
Isto mostra que a condutividade intrínseca é proporcional a
, que normalmente é muito pequena em semicondutores puros (por exemplo, em silício
–
à temperatura ambiente).
Passo 6
Condutividade do semicondutor tipo-
. Usando as aproximações do Passo 3,
Se
, o termo
é muito pequeno em comparação com
, então
Ou seja, a condutividade tipo-
é dominada pelos elétrons majoritários com densidade aproximadamente
.
Passo 7
Condutividade do semicondutor tipo-
. Análogo ao caso anterior,
quando
. Aqui a condutividade é dominada pelas lacunas com densidade aproximadamente
.
Passo 8
Comparação entre os três condutores:
- Comparando os dopados entre si, como
é o mesmo para ambos,
É um fato experimental bem estabelecido que, na maioria dos semicondutores (por exemplo silício ou germânio), a mobilidade dos elétrons é maior do que a das lacunas:
Portanto
. Ou seja, para a mesma densidade de dopantes, o tipo-
conduz melhor que o tipo-
.
- Comparando um dopado com o intrínseco: se
, então
e também
. Logo as amostras dopadas conduzem muito mais que a intrínseca (na prática a dopagem aumenta fortemente a condutividade).
Passo 9
Conclusão prática com a ligação às baterias idênticas: a corrente
é proporcional à condutividade
para amostras de mesma geometria e mesma tensão aplicada. Assim, entre as três amostras descritas (mesma
para as dopadas e mesmas baterias), a ordem de corrente será
ou seja, o semicondutor tipo-
terá a maior capacidade para carregar corrente.
Resposta
Semicondutor tipo-