Exercício 11.3 Você tem um semicondutor intrínsico, um semicondutor tipo- p, e um semicondutor tipo- n. As amostras dopadas possuem a mesma densidade de átomos dopantes. Qual dos três semicondutores você espera que tenha
maior capacidade para carregar corrente quando os três estão conectados à baterias idênticas

Passo 1

O enunciado pergunta qual, entre três amostras (um semicondutor intrínseco, um semicondutor tipo- p e um semicondutor tipo- n), terá maior capacidade para carregar corrente quando as três estiverem conectadas a baterias idênticas. Informações fornecidas:
  • Há três amostras: uma intrínseca, uma dopada tipo- p e uma dopada tipo- n.
  • As amostras dopadas possuem a mesma densidade de átomos dopantes (vou chamar essa densidade de N).
  • As baterias são idênticas, ou seja, aplicam a mesma diferença de potencial V a cada amostra.
    O que o problema pede: identificar qual das três amostras conduzirá mais corrente (ou seja, terá maior corrente I sob a mesma tensão aplicada).

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar — o que significam as letras que aparecerão:
  • q é a carga do elétron (valor absoluto), q \approx 1{,}6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}.
  • n é a densidade de elétrons livres (portadores de carga negativa), em \mathrm{cm^{-3}} ou \mathrm{m^{-3}}.
  • p é a densidade de lacunas (holes, portadores positivos).
  • n_i é a concentração intrínseca de portadores no semicondutor puro (densidade de elétrons e de lacunas quando não há dopagem).
  • N_D é a densidade de doadores (para tipo- n) e N_A a densidade de aceitadores (para tipo- p). O enunciado diz que as amostras dopadas têm a mesma densidade de átomos dopantes, então vou chamar essa densidade comum de N e tomar N_D=N e N_A=N.
  • \mu_n é a mobilidade dos elétrons (medida de quão rápido os elétrons se movem sob um campo elétrico).
  • \mu_p é a mobilidade das lacunas.
    Esses conceitos são suficientes para relacionar dopagem e condutividade.

Passo 3

Como a dopagem gera maior número de portadores majoritários:
  • Para um semicondutor tipo- n com dopagem não degenerada e totalmente ionizada, a densidade de elétrons majoritários satisfaz aproximadamente
n \approx N_D \approx N,
e a densidade de lacunas (minoritárias) é dada pela relação de equilíbrio de massa de portadores
np = n_i^2 \quad\Rightarrow\quad p \approx \frac{n_i^2}{N}.
  • Para tipo- p,
p \approx N_A \approx N,
e
n \approx \frac{n_i^2}{N}.
  • Para o semicondutor intrínseco,
n=p=n_i.
Essas aproximações valem quando N é muito maior que n_i (caso típico em dopagens experimentais).

Passo 4

Agora a relação entre portadores e a capacidade de conduzir corrente: a condutividade elétrica \sigma (siemens por metro) de um semicondutor é dada por
\sigma = q\left(n\,\mu_n + p\,\mu_p\right).
Explicando cada termo:
  • q n \mu_n é a contribuição dos elétrons (densidade vezes mobilidade vezes carga).
  • q p \mu_p é a contribuição das lacunas.
    Corrente para uma barra de seção transversal A e comprimento L sob tensão V obedece à lei de Ohm macroscópica:
I = \sigma \frac{A}{L}\,V.
Como as baterias são idênticas e assumimos dimensões iguais das amostras, comparar I é equivalente a comparar \sigma.

Passo 5

Condutividade do semicondutor intrínseco. Como n=p=n_i,
\sigma_{\text{intrínseco}} = q\,n_i\left(\mu_n + \mu_p\right).í
Isto mostra que a condutividade intrínseca é proporcional a n_i, que normalmente é muito pequena em semicondutores puros (por exemplo, em silício n_i\sim 10^{10} 10^{11}\,\mathrm{cm^{-3}} à temperatura ambiente).

Passo 6

Condutividade do semicondutor tipo- n. Usando as aproximações do Passo 3,
\sigma_{n} = q\left(n\mu_n + p\mu_p\right) \approx q\left(N\mu_n + \frac{n_i^2}{N}\mu_p\right).
Se N\gg n_i, o termo \dfrac{n_i^2}{N}\mu_p é muito pequeno em comparação com N\mu_n, então
\sigma_{n} \approx q\,N\,\mu_n.
Ou seja, a condutividade tipo- n é dominada pelos elétrons majoritários com densidade aproximadamente N.

Passo 7

Condutividade do semicondutor tipo- p. Análogo ao caso anterior,
\sigma_{p} = q\left(n\mu_n + p\mu_p\right) \approx q\left(\frac{n_i^2}{N}\mu_n + N\mu_p\right) \approx q\,N\,\mu_p,
quando N\gg n_i. Aqui a condutividade é dominada pelas lacunas com densidade aproximadamente N.

Passo 8

Comparação entre os três condutores:
  • Comparando os dopados entre si, como N é o mesmo para ambos,
\frac{\sigma_n}{\sigma_p} \approx \frac{qN\mu_n}{qN\mu_p} = \frac{\mu_n}{\mu_p}.
É um fato experimental bem estabelecido que, na maioria dos semicondutores (por exemplo silício ou germânio), a mobilidade dos elétrons é maior do que a das lacunas:
\mu_n > \mu_p.
Portanto \sigma_n > \sigma_p. Ou seja, para a mesma densidade de dopantes, o tipo- n conduz melhor que o tipo- p.
  • Comparando um dopado com o intrínseco: se N\gg n_i, então
\sigma_{n}\approx qN\mu_n \gg q n_i(\mu_n+\mu_p)=\sigma_{\text{intrínseco}},í
e também \sigma_{p}\gg\sigma_{\text{intrínseco}}í. Logo as amostras dopadas conduzem muito mais que a intrínseca (na prática a dopagem aumenta fortemente a condutividade).

Passo 9

Conclusão prática com a ligação às baterias idênticas: a corrente I é proporcional à condutividade \sigma para amostras de mesma geometria e mesma tensão aplicada. Assim, entre as três amostras descritas (mesma N para as dopadas e mesmas baterias), a ordem de corrente será
I_{n} > I_{p} \gg I_{\text{intrínseco}},í
ou seja, o semicondutor tipo- n terá a maior capacidade para carregar corrente.

Resposta

Semicondutor tipo- n

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