Exercício 112. Calcule
, onde
e
é parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde estão dadas as seguintes informações:
- O campo vetorial é
. - A curva
é parametrizada por , para .
Então a pergunta é: qual é o valor numérico da integral de linha
ao longo da curva parametrizada por
com
variando de
a
?
Passo 2
Fórmula padrão que vamos usar (essa é a ferramenta básica para integrar um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada):
onde
é a parametrização da curva para
,
é a derivada vetorial (vetor tangente), e
é o produto escalar entre vetores. Explicando cada parte:
-
significa substituir e em pelas componentes de . -
é o vetor . - O produto escalar de
com é .
Vamos aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcular a derivada da parametrização
:
Comentário didático rápido: derivada de
é
(regra do poder) e derivada de
é
.
Passo 4
Avaliar o campo
ao longo da curva: substituir
e
em
:
Isto é simplesmente a aplicação da substituição
,
.
Passo 5
Calcular o produto escalar
:
Explicando: multiplica-se componente a componente e soma-se:
.
Passo 6
Montar e calcular a integral:
Agora calculamos a primitiva termo a termo:
Logo a primitiva é
. Avaliando de
a
:
Colocando em denominador comum:
Como checagem rápida,
.
Passo 7
Comentário final motivador: pronto — seguimos a receita padrão (parametrizar, derivar, substituir, dot product, integrar). Se quiser treinar, tente variar a curva (por exemplo
ou outro intervalo) e repetir os passos; a mecânica é a mesma.