Exercício 112. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=(x y,-y) e C é parametrizada por \alpha:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)=\left(t^{2}, t\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{C} F\,d r, onde estão dadas as seguintes informações:
  • O campo vetorial é F(x,y)=(x y,\,-y).
  • A curva C é parametrizada por \alpha:[0,2]\to\mathbb{R}^2, \alpha(t)=\big(t^{2},\,t\big) para t\in[0,2].
Então a pergunta é: qual é o valor numérico da integral de linha \displaystyle \int_{C} F\,d r ao longo da curva parametrizada por \alpha(t) com t variando de 0 a 2?

Passo 2

Fórmula padrão que vamos usar (essa é a ferramenta básica para integrar um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada):
\displaystyle \int_{C} F\,d r \;=\; \int_{a}^{b} F\big(\alpha(t)\big)\cdot \alpha'(t)\,dt,
onde \alpha(t) é a parametrização da curva para t\in[a,b], \alpha'(t) é a derivada vetorial (vetor tangente), e \cdot é o produto escalar entre vetores. Explicando cada parte:
  • F\big(\alpha(t)\big) significa substituir x e y em F pelas componentes de \alpha(t).
  • \alpha'(t) é o vetor \big(\frac{d}{dt}\alpha_1(t),\frac{d}{dt}\alpha_2(t)\big).
  • O produto escalar de (a,b) com (c,d) é a c + b d.
    Vamos aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular a derivada da parametrização \alpha(t)=\big(t^{2},\,t\big):
\alpha'(t)=\big( \tfrac{d}{dt}t^{2},\; \tfrac{d}{dt}t \big)=\big(2t,\;1\big).
Comentário didático rápido: derivada de t^{2} é 2t (regra do poder) e derivada de t é 1.

Passo 4

Avaliar o campo F ao longo da curva: substituir x=t^{2} e y=t em F(x,y)=(x y,\,-y):
F\big(\alpha(t)\big)=\big(t^{2}\cdot t,\; -t\big)=\big(t^{3},\; -t\big).
Isto é simplesmente a aplicação da substituição x\mapsto t^{2}, y\mapsto t.

Passo 5

Calcular o produto escalar F\big(\alpha(t)\big)\cdot \alpha'(t):
F\big(\alpha(t)\big)\cdot \alpha'(t)=\big(t^{3},-t\big)\cdot\big(2t,1\big)=t^{3}\cdot(2t)+(-t)\cdot 1=2t^{4}-t.
Explicando: multiplica-se componente a componente e soma-se: t^{3}\times 2t + (-t)\times 1.

Passo 6

Montar e calcular a integral:
\displaystyle \int_{C} F\,d r \;=\; \int_{0}^{2}\big(2t^{4}-t\big)\,dt.
Agora calculamos a primitiva termo a termo:
\int 2t^{4}\,dt = 2\cdot \frac{t^{5}}{5}=\frac{2}{5}t^{5},\qquad \int -t\,dt = -\frac{t^{2}}{2}.
Logo a primitiva é \displaystyle \frac{2}{5}t^{5}-\frac{t^{2}}{2}. Avaliando de 0 a 2:
\left[\frac{2}{5}t^{5}-\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{2} =\left(\frac{2}{5}\cdot 2^{5}-\frac{2^{2}}{2}\right)-0 =\left(\frac{2}{5}\cdot 32 - 2\right) =\frac{64}{5}-2.
Colocando em denominador comum:
\frac{64}{5}-2=\frac{64}{5}-\frac{10}{5}=\frac{54}{5}.
Como checagem rápida, \dfrac{54}{5}=10{,}8.

Passo 7

Comentário final motivador: pronto — seguimos a receita padrão (parametrizar, derivar, substituir, dot product, integrar). Se quiser treinar, tente variar a curva (por exemplo \alpha(t)=(t,\;t^{2}) ou outro intervalo) e repetir os passos; a mecânica é a mesma.

Resposta

\dfrac{54}{5}

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