Exercício 111. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=(y, x) e C é parametrizada por \alpha:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)=(-t, t).
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá.
Pede calcular a integral de linha \int_{C} F\cdot dr.
O campo vetorial é F(x,y)=(y,x).
A curva C é a imagem da parametrização \alpha:[-1,1]\to\mathbb{R}^2 dada por \alpha(t)=(-t,t).
O parâmetro t varia de -1 até 1.
Resumo das informações relevantes:
\alpha(t)=(-t,t) para t\in[-1,1].
F(x,y)=(y,x).
Passo 2
O conceito e a fórmula que vamos usar (explicação didática).
Para integrar um campo vetorial F ao longo de uma curva parametrizada por \alpha(t), usamos a definição prática:
\int_{C} F\cdot dr \;=\; \int_{a}^{b} F\big(\alpha(t)\big)\cdot \alpha'(t)\,dt,
onde:
a e b são os extremos do parâmetro (aqui a=-1, b=1);
F(\alpha(t)) é o campo avaliado no ponto da curva correspondente a t;
\alpha'(t) é o vetor velocidade da parametrização;
o símbolo \cdot é o produto escalar entre vetores em \mathbb{R}^2.
Intuição rápida: dr é o deslocamento ao longo da curva, \alpha'(t)\,dt é esse deslocamento em termos do parâmetro, e o produto escalar mede a componente de F ao longo de dr. A integral soma essas contribuições ao longo da curva.
Passo 3
Calcular \alpha'(t) (vetor velocidade).
A parametrização é \alpha(t)=(-t,t). Derivando coordenada a coordenada:
onde P(x,y)=y e Q(x,y)=x. Logo existe potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=F; um potencial é \varphi(x,y)=xy. Para uma curva parametrizada de t=-1 a t=1 isso dá a diferença \varphi(\alpha(1))-\varphi(\alpha(-1)), que conduz à mesma expressão numérica que obtivemos acima.