Exercício 111. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=(y, x) e C é parametrizada por \alpha:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)=(-t, t).

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá.
  • Pede calcular a integral de linha \int_{C} F\cdot dr.
  • O campo vetorial é F(x,y)=(y,x).
  • A curva C é a imagem da parametrização \alpha:[-1,1]\to\mathbb{R}^2 dada por \alpha(t)=(-t,t).
  • O parâmetro t varia de -1 até 1.
Resumo das informações relevantes:
  • \alpha(t)=(-t,t) para t\in[-1,1].
  • F(x,y)=(y,x).

Passo 2

O conceito e a fórmula que vamos usar (explicação didática).
Para integrar um campo vetorial F ao longo de uma curva parametrizada por \alpha(t), usamos a definição prática:
\int_{C} F\cdot dr \;=\; \int_{a}^{b} F\big(\alpha(t)\big)\cdot \alpha'(t)\,dt,
onde:
  • a e b são os extremos do parâmetro (aqui a=-1, b=1);
  • F(\alpha(t)) é o campo avaliado no ponto da curva correspondente a t;
  • \alpha'(t) é o vetor velocidade da parametrização;
  • o símbolo \cdot é o produto escalar entre vetores em \mathbb{R}^2.
Intuição rápida: dr é o deslocamento ao longo da curva, \alpha'(t)\,dt é esse deslocamento em termos do parâmetro, e o produto escalar mede a componente de F ao longo de dr. A integral soma essas contribuições ao longo da curva.

Passo 3

Calcular \alpha'(t) (vetor velocidade).
A parametrização é \alpha(t)=(-t,t). Derivando coordenada a coordenada:
\alpha'(t)=\bigl(\tfrac{d}{dt}(-t),\tfrac{d}{dt}(t)\bigr)=(-1,1).
Observação: \alpha'(t) é constante neste caso, um vetor fixo (-1,1).

Passo 4

Avaliar o campo F sobre a curva: calcular F(\alpha(t)).
O campo é F(x,y)=(y,x). Substituindo x=-t e y=t (pois \alpha(t)=(-t,t)):
F\big(\alpha(t)\big)=\bigl(y,x\bigr)\big|_{(x,y)=(-t,t)}=(t,-t).
Portanto, ao longo da curva o campo vale (t,-t).

Passo 5

Fazer o produto escalar F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t).
Temos F(\alpha(t))=(t,-t) e \alpha'(t)=(-1,1). O produto escalar em \mathbb{R}^2 é
(u_1,u_2)\cdot(v_1,v_2)=u_1v_1+u_2v_2.
Aplicando:
F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)=t\cdot(-1)+(-t)\cdot 1=-t-t=-2t.

Passo 6

Montar a integral e realizar a integração (contas detalhadas, sem pular etapas finais).
Pela fórmula do Passo 2,
\int_{C} F\cdot dr=\int_{-1}^{1} F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)\,dt=\int_{-1}^{1} (-2t)\,dt.
Calcular a integral:
\int_{-1}^{1} (-2t)\,dt = -2\int_{-1}^{1} t\,dt = -2\left[\tfrac{t^{2}}{2}\right]_{-1}^{1} = -\left[t^{2}\right]_{-1}^{1}.

Passo 7

Verificação alternativa (intuição extra e checagem).
Uma checagem útil: o campo F(x,y)=(y,x) é conservativo num domínio simplesmente conexo porque
\frac{\partial}{\partial y}(P)=\frac{\partial}{\partial y}(y)=1 \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial}{\partial x}(Q)=\frac{\partial}{\partial x}(x)=1,
onde P(x,y)=y e Q(x,y)=x. Logo existe potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=F; um potencial é \varphi(x,y)=xy. Para uma curva parametrizada de t=-1 a t=1 isso dá a diferença \varphi(\alpha(1))-\varphi(\alpha(-1)), que conduz à mesma expressão numérica que obtivemos acima.

Resposta

\,0\,

Exercícios relacionados