Exercício 115. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}, x^{2}-y^{2}\right) e C é parametrizada por \alpha:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)=(\cos (t), \operatorname{sen}(t)).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha \int_{C} F\,dr para o campo vetorial e a curva dados. Informações fornecidas:
  • O campo vetorial é F(x,y)=\bigl(x^{2}+y^{2},\,x^{2}-y^{2}\bigr).
  • A curva C é parametrizada por \alpha:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^{2}, \alpha(t)=(\cos t,\;\operatorname{sen} t).
  • O intervalo do parâmetro é [0,2\pi].
O que é pedido: calcular o valor numérico da integral de linha \int_{C} F\,dr.

Passo 2

Vou recordar a fórmula que vamos usar (mini-aula rápida): se uma curva C é dada por uma parametrização \alpha(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], e F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) é um campo vetorial, então a integral de linha no sentido de \alpha é
\int_{C}F\;dr=\int_{a}^{b}F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)\,dt=\int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
Explicando: F(\alpha(t)) é o vetor do campo avaliado no ponto da curva, \alpha'(t) é a velocidade da parametrização, e o produto escalar dá a componente tangencial de F ao longo da curva — isso é o que se integra ao longo do parâmetro.

Passo 3

Calcular a derivada da parametrização \alpha(t)=(\cos t,\;\operatorname{sen} t). Derivando componente a componente:
\alpha'(t)=(-\operatorname{sen} t,\;\cos t).
Aqui \alpha'(t) significa \bigl(x'(t),y'(t)\bigr).

Passo 4

Avaliar F ao longo da curva, isto é calcular F(\alpha(t)). Substituindo x=\cos t e y=\operatorname{sen} t nas componentes de F:
P(x,y)=x^{2}+y^{2}\quad\Rightarrow\quad P(\cos t,\operatorname{sen} t)=\cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t.
Pelo identidade pitagórica temos \cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t=1.
A segunda componente:
Q(x,y)=x^{2}-y^{2}\quad\Rightarrow\quad Q(\cos t,\operatorname{sen} t)=\cos^{2}t-\operatorname{sen}^{2}t=\cos 2t.
Logo
F(\alpha(t))=\bigl(1,\;\cos 2t\bigr).

Passo 5

Formar o produto escalar F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t):
F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)=\bigl(1,\cos 2t\bigr)\cdot\bigl(-\operatorname{sen} t,\cos t\bigr)=1\cdot(-\operatorname{sen} t)+\cos 2t\cdot\cos t.
Portanto o integrando é
-\operatorname{sen} t+\cos 2t\cos t.

Passo 6

Simplificar a parte \cos 2t\cos t. Podemos usar a identidade \cos 2t=2\cos^{2}t-1. Assim
\cos 2t\cos t=(2\cos^{2}t-1)\cos t=2\cos^{3}t-\cos t.
Substituindo no integrando obtemos
F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)=2\cos^{3}t-\cos t-\operatorname{sen} t.

Passo 7

Montar a integral no intervalo 0 a 2\pi:
\int_{C}F\,dr=\int_{0}^{2\pi}\bigl(2\cos^{3}t-\cos t-\operatorname{sen} t\bigr)\,dt.
Vamos calcular termo a termo.

Passo 8

Calcular as três integrais separadamente.
  1. \displaystyle \int_{0}^{2\pi}-\cos t\,dt=-\bigl[\operatorname{sen} t\bigr]_{0}^{2\pi}=-\bigl(\operatorname{sen}(2\pi)-\operatorname{sen} 0\bigr)=-\bigl(0-0\bigr)=0.
  2. \displaystyle \int_{0}^{2\pi}-\operatorname{sen} t\,dt=\bigl[\cos t\bigr]_{0}^{2\pi}=\cos(2\pi)-\cos 0=1-1=0.
  3. Resta \displaystyle 2\int_{0}^{2\pi}\cos^{3}t\,dt. Para integrar \cos^{3}t use a identidade de redução
\cos^{3}t=\frac{1}{4}\bigl(3\cos t+\cos 3t\bigr).
(Prova rápida: expandir usando fórmulas de soma ou as fórmulas de potências. Esta é uma identidade padrão.) Assim
\int_{0}^{2\pi}\cos^{3}t\,dt=\frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}\bigl(3\cos t+\cos 3t\bigr)\,dt =\frac{1}{4}\Bigl(3\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt+\int_{0}^{2\pi}\cos 3t\,dt\Bigr).
Cada integral de \cos kt em um período inteiro é zero, portanto ambas são zero, logo
\int_{0}^{2\pi}\cos^{3}t\,dt=0,
e consequentemente 2\int_{0}^{2\pi}\cos^{3}t\,dt=0.

Passo 9

Somando os três resultados, todos são zero. Portanto
\int_{C}F\,dr=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados