Exercício 115. Calcule
, onde
e
é parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
para o campo vetorial e a curva dados. Informações fornecidas:
- O campo vetorial é
. - A curva
é parametrizada por , . - O intervalo do parâmetro é
.
O que é pedido: calcular o valor numérico da integral de linha
.
Passo 2
Vou recordar a fórmula que vamos usar (mini-aula rápida): se uma curva
é dada por uma parametrização
,
, e
é um campo vetorial, então a integral de linha no sentido de
é
Explicando:
é o vetor do campo avaliado no ponto da curva,
é a velocidade da parametrização, e o produto escalar dá a componente tangencial de
ao longo da curva — isso é o que se integra ao longo do parâmetro.
Passo 3
Calcular a derivada da parametrização
. Derivando componente a componente:
Aqui
significa
.
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva, isto é calcular
. Substituindo
e
nas componentes de
:
Pelo identidade pitagórica temos
.
A segunda componente:
A segunda componente:
Logo
Passo 5
Formar o produto escalar
:
Portanto o integrando é
Passo 6
Simplificar a parte
. Podemos usar a identidade
. Assim
Substituindo no integrando obtemos
Passo 7
Montar a integral no intervalo
a
:
Vamos calcular termo a termo.
Passo 8
Calcular as três integrais separadamente.
-
-
-
Resta
. Para integrar use a identidade de redução
(Prova rápida: expandir usando fórmulas de soma ou as fórmulas de potências. Esta é uma identidade padrão.) Assim
Cada integral de
em um período inteiro é zero, portanto ambas são zero, logo
e consequentemente
.
Passo 9
Somando os três resultados, todos são zero. Portanto