Exercício 114. Calcule
, onde
e
é parametrizada por
:
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido e claro):
- O campo vetorial é
. - A curva
é dada pela parametrização , . (O domínio do parâmetro é .) - O que pedem: calcular a integral de linha
, isto é, a integral de linha do campo ao longo da curva .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Para um campo vetorial
e uma parametrização definida em , a integral de linha no sentido da parametrização é
onde
é a derivada componente a componente e o ponto
é o produto escalar entre vetores. Intuição: pega-se o campo em cada ponto da curva e projeta-se na tangente (direção do deslocamento) e soma-se ao longo da curva.
Passo 3
Calcular
(derivadas componentes e interpretação):
- A componente
tem derivada . - A componente
. Derivando usando a regra da cadeia:
- Usando a identidade trigonométrica
, podemos escrever
- Portanto
Passo 4
Avaliar
na parametrização
e formar o produto escalar:
-
, porque peguei e da parametrização. - Agora o produto escalar com
é
- Fazendo o produto escalar componente a componente:
Passo 5
Reduzir a integral de linha a uma integral usual:
- Pelas etapas anteriores,
- A primeira integral é simples:
. - Resta calcular
. Para isso usamos identidades trigonométricas (redução de potência).
Passo 6
Identidade para
(passo a passo):
- Começo com
. - Então
- Reescrevo
usando com :
- Substituindo:
- Simplificando os termos constantes:
Passo 7
Integrar
usando a expressão obtida e montar o resultado final:
- Substituindo na integral,
- Integro termo a termo:
-
- Somando essas parcelas:
- Lembrando que já tínhamos
, portanto
- Juntando as partes constantes
, obtemos a forma final limpa: