Exercício 114. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}, 0\right) e C é parametrizada por \alpha : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)=\left(t, \operatorname{sen}^{2}(t)\right).

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido e claro):
  • O campo vetorial é F(x,y)=\big(x^{2}+y^{2},\,0\big).
  • A curva C é dada pela parametrização \alpha:[0,1]\to\mathbb{R}^{2}, \alpha(t)=\big(t,\;\operatorname{sen}^{2}(t)\big). (O domínio do parâmetro é t\in[0,1].)
  • O que pedem: calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C}F\,dr, isto é, a integral de linha do campo F ao longo da curva C.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para um campo vetorial F=(P,Q) e uma parametrização \alpha(t)=(x(t),y(t)) definida em [a,b], a integral de linha no sentido da parametrização é
\int_{C}F\,dr=\int_{a}^{b}F\big(\alpha(t)\big)\cdot\alpha'(t)\,dt,
onde \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada componente a componente e o ponto \cdot é o produto escalar entre vetores. Intuição: pega-se o campo em cada ponto da curva e projeta-se na tangente (direção do deslocamento) e soma-se ao longo da curva.

Passo 3

Calcular \alpha'(t) (derivadas componentes e interpretação):
  • A componente x(t)=t tem derivada x'(t)=1.
  • A componente y(t)=\operatorname{sen}^{2}(t). Derivando usando a regra da cadeia:
y'(t)=2\operatorname{sen}(t)\cdot\cos(t).
  • Usando a identidade trigonométrica \sin(2t)=2\sin t\cos t, podemos escrever
y'(t)=\sin(2t).
  • Portanto
\alpha'(t)=\big(1,\;\sin(2t)\big).

Passo 4

Avaliar F na parametrização \alpha(t) e formar o produto escalar:
  • F\big(\alpha(t)\big)=\big(x(t)^{2}+y(t)^{2},\;0\big)=\big(t^{2}+\operatorname{sen}^{4}(t),\;0\big), porque peguei x=t e y=\operatorname{sen}^{2}(t) da parametrização.
  • Agora o produto escalar com \alpha'(t) é
F\big(\alpha(t)\big)\cdot\alpha'(t) =\big(t^{2}+\operatorname{sen}^{4}(t),\;0\big)\cdot\big(1,\;\sin(2t)\big).
  • Fazendo o produto escalar componente a componente:
F\big(\alpha(t)\big)\cdot\alpha'(t)=\big(t^{2}+\operatorname{sen}^{4}(t)\big)\cdot 1 + 0\cdot\sin(2t) = t^{2}+\operatorname{sen}^{4}(t).

Passo 5

Reduzir a integral de linha a uma integral usual:
  • Pelas etapas anteriores,
\int_{C}F\,dr=\int_{0}^{1}\big(t^{2}+\operatorname{sen}^{4}(t)\big)\,dt =\int_{0}^{1}t^{2}\,dt+\int_{0}^{1}\operatorname{sen}^{4}(t)\,dt.
  • A primeira integral é simples: \displaystyle\int_{0}^{1}t^{2}\,dt=\frac{1}{3}.
  • Resta calcular \displaystyle\int_{0}^{1}\operatorname{sen}^{4}(t)\,dt. Para isso usamos identidades trigonométricas (redução de potência).

Passo 6

Identidade para \operatorname{sen}^{4}(t) (passo a passo):
  • Começo com \operatorname{sen}^{2}(t)=\dfrac{1-\cos(2t)}{2}.
  • Então
\operatorname{sen}^{4}(t)=\big(\operatorname{sen}^{2}(t)\big)^{2} =\left(\dfrac{1-\cos(2t)}{2}\right)^{2} =\dfrac{1}{4}\big(1-2\cos(2t)+\cos^{2}(2t)\big).
  • Reescrevo \cos^{2}(2t) usando \cos^{2}(\theta)=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2} com \theta=2t:
\cos^{2}(2t)=\dfrac{1+\cos(4t)}{2}.
  • Substituindo:
\operatorname{sen}^{4}(t)=\dfrac{1}{4}\left(1-2\cos(2t)+\dfrac{1+\cos(4t)}{2}\right).
  • Simplificando os termos constantes:
\operatorname{sen}^{4}(t)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{3}{2}-2\cos(2t)+\dfrac{1}{2}\cos(4t)\right) =\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos(2t)+\dfrac{1}{8}\cos(4t).

Passo 7

Integrar \operatorname{sen}^{4}(t) usando a expressão obtida e montar o resultado final:
  • Substituindo na integral,
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}^{4}(t)\,dt =\int_{0}^{1}\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos(2t)+\dfrac{1}{8}\cos(4t)\right)\,dt.
  • Integro termo a termo:
    • \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{3}{8}\,dt=\dfrac{3}{8}\cdot 1=\dfrac{3}{8}.
    • \displaystyle\int_{0}^{1}-\dfrac{1}{2}\cos(2t)\,dt=-\dfrac{1}{2}\cdot\left[\dfrac{1}{2}\sin(2t)\right]_{0}^{1}=-\dfrac{1}{4}\sin(2).
    • \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{8}\cos(4t)\,dt=\dfrac{1}{8}\cdot\left[\dfrac{1}{4}\sin(4t)\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{32}\sin(4).
  • Somando essas parcelas:
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}^{4}(t)\,dt=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{4}\sin(2)+\dfrac{1}{32}\sin(4).
  • Lembrando que já tínhamos \displaystyle\int_{0}^{1}t^{2}\,dt=\dfrac{1}{3}, portanto
\int_{C}F\,dr=\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{4}\sin(2)+\dfrac{1}{32}\sin(4)\right).
  • Juntando as partes constantes \dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{8}{24}+\dfrac{9}{24}=\dfrac{17}{24}, obtemos a forma final limpa:
\int_{C}F\,dr=\dfrac{17}{24}-\dfrac{1}{4}\sin(2)+\dfrac{1}{32}\sin(4).

Resposta

\dfrac{17}{24}-\dfrac{1}{4}\sin(2)+\dfrac{1}{32}\sin(4)

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