Exercício 113. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=(x+y, x-y) e C é parametrizada por \alpha:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)=(t, 2 t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \int_{C} F\cdot d r, onde estão dadas as informações seguintes:
  • O campo vetorial é F(x,y) = (x+y,\; x-y).
  • A curva C é parametrizada por \alpha:[0,2]\to\mathbb{R}^2, \alpha(t) = (t,2t) para 0\le t\le2.
    A pergunta é: qual é o valor numérico de \displaystyle \int_{C} F\cdot d r?

Passo 2

Vou usar a fórmula padrão para integrar um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada. A fórmula diz:
\int_{C} F\cdot d r = \int_{a}^{b} F(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)\,dt,
onde \alpha'(t) é a derivada vetor da parametrização e F(\alpha(t)) é o campo avaliado ao longo da curva. Aqui a=0 e b=2. Vou explicar cada peça: \alpha'(t) representa a velocidade da curva (taxa de variação do ponto na curva), e o produto escalar F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t) dá a componente de F na direção do movimento — é isso que se integra ao longo do caminho.

Passo 3

Calcular \alpha'(t). Como \alpha(t)=(t,2t), derivando componente a componente obtemos
\alpha'(t)=\left(\frac{d}{dt}t,\;\frac{d}{dt}2t\right)=(1,2).
Observação: \alpha'(t) é constante aqui porque a parametrização é linear.

Passo 4

Avaliar o campo F ao longo da curva: substituir (x,y)=(t,2t) em F(x,y)=(x+y,\;x-y). Isso dá
F(\alpha(t)) = (t+2t,\; t-2t) = (3t,\; -t).
Expliquei: basta trocar x por t e y por 2t.

Passo 5

Calcular o produto escalar F(\alpha(t))\cdot \alpha'(t). Usando F(\alpha(t))=(3t,-t) e \alpha'(t)=(1,2),
F(\alpha(t))\cdot \alpha'(t) = 3t\cdot 1 + (-t)\cdot 2 = 3t - 2t = t.
Passo a passo: multiplica-se componente a componente e soma-se.

Passo 6

Agora montar a integral segundo a fórmula do Passo 2:
\int_{C} F\cdot d r = \int_{0}^{2} \big(F(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)\big)\,dt = \int_{0}^{2} t\,dt.
Expliquei: substituí o integrando encontrado no Passo 5.

Passo 7

Calcular a integral simples:
\int_{0}^{2} t\,dt = \left[\tfrac{1}{2}t^{2}\right]_{0}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2^{2} - \tfrac{1}{2}\cdot 0^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 4 = 2.

Passo 8

(Opicional — verificação usando potencial): nota rápida para confirmar — o campo F é conservativo porque \partial (x+y)/\partial y = 1 e \partial (x-y)/\partial x = 1, iguais. Uma potencial é
\varphi(x,y)=\tfrac{1}{2}x^{2}+xy-\tfrac{1}{2}y^{2}.
Então \int_{C} F\cdot d r = \varphi(\alpha(2))-\varphi(\alpha(0)) = \varphi(2,4)-\varphi(0,0)=2-0=2, confirmando o resultado anterior.

Resposta

2

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