Exercício 113. Calcule
, onde
e
é parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde estão dadas as informações seguintes:
- O campo vetorial é
. - A curva
é parametrizada por , para .
A pergunta é: qual é o valor numérico de?
Passo 2
Vou usar a fórmula padrão para integrar um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada. A fórmula diz:
onde
é a derivada vetor da parametrização e
é o campo avaliado ao longo da curva. Aqui
e
. Vou explicar cada peça:
representa a velocidade da curva (taxa de variação do ponto na curva), e o produto escalar
dá a componente de
na direção do movimento — é isso que se integra ao longo do caminho.
Passo 3
Calcular
. Como
, derivando componente a componente obtemos
Observação:
é constante aqui porque a parametrização é linear.
Passo 4
Avaliar o campo
ao longo da curva: substituir
em
. Isso dá
Expliquei: basta trocar
por
e
por
.
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Usando
e
,
Passo a passo: multiplica-se componente a componente e soma-se.
Passo 6
Agora montar a integral segundo a fórmula do Passo 2:
Expliquei: substituí o integrando encontrado no Passo 5.
Passo 7
Calcular a integral simples:
Passo 8
(Opicional — verificação usando potencial): nota rápida para confirmar — o campo
é conservativo porque
e
, iguais. Uma potencial é
Então
, confirmando o resultado anterior.