Exercício 116. Calcule
, onde
e
é parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- O campo vetorial
com componentes . - A curva parametrizada
dada por para .
O que o exercício pede:
- Calcular a integral de linha
, onde é a imagem da parametrização .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (apenas apresentada, sem executar ainda):
Para uma curva suave
e um campo vetorial
, a integral de linha orientada é dada por
Aqui
é o vetor velocidade da parametrização e
é o produto escalar usual em
. O produto escalar de dois vetores
e
é
Passo 3
Calcular a derivada da parametrização
:
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva: substituir
em
. Assim
Passo 5
Calcular o produto escalar
:
Agora simplificar termo a termo:
Logo
Passo 6
Agora integrar no intervalo
:
Calcular antiderivadas:
Portanto a primitiva é
Avaliar de
a
:
Somar as frações com denominador comum
:
Logo
Passo 7
Resumo final e checagem rápida: a integral resulta em uma soma de potências fáceis de integrar; o valor obtido é
. Tudo bate com as contas termo a termo.