Exercício 116. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=(x y, x z,-y z) e C é parametrizada por \alpha:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \alpha(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O campo vetorial F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 com componentes F(x,y,z)=\big(xy,\; xz,\; -yz\big).
  • A curva parametrizada \alpha:[0,1]\to\mathbb{R}^3 dada por \alpha(t)=\big(t,\; t^{2},\; t^{3}\big) para 0\le t\le1.
O que o exercício pede:
  • Calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C}F\,dr, onde C é a imagem da parametrização \alpha.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (apenas apresentada, sem executar ainda):
Para uma curva suave \alpha:[a,b]\to\mathbb{R}^3 e um campo vetorial F, a integral de linha orientada é dada por
\int_{C}F\,dr=\int_{a}^{b}F\big(\alpha(t)\big)\cdot\alpha'(t)\,dt.
Aqui \alpha'(t) é o vetor velocidade da parametrização e \cdot é o produto escalar usual em \mathbb{R}^3. O produto escalar de dois vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) é
u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.

Passo 3

Calcular a derivada da parametrização \alpha(t):
\alpha'(t)=\frac{d}{dt}\big(t,\;t^{2},\;t^{3}\big)=\big(1,\;2t,\;3t^{2}\big).

Passo 4

Avaliar F ao longo da curva: substituir (x,y,z)=(t,t^{2},t^{3}) em F(x,y,z). Assim
F\big(\alpha(t)\big)=\big(t\cdot t^{2},\; t\cdot t^{3},\; -t^{2}\cdot t^{3}\big)=\big(t^{3},\;t^{4},\;-t^{5}\big).

Passo 5

Calcular o produto escalar F\big(\alpha(t)\big)\cdot\alpha'(t):
F\big(\alpha(t)\big)\cdot\alpha'(t) = t^{3}\cdot 1 + t^{4}\cdot(2t) + (-t^{5})\cdot(3t^{2}).
Agora simplificar termo a termo:
t^{3}\cdot 1 = t^{3},\qquad t^{4}\cdot(2t)=2t^{5},\qquad (-t^{5})\cdot(3t^{2})=-3t^{7}.
Logo
F\big(\alpha(t)\big)\cdot\alpha'(t)=t^{3}+2t^{5}-3t^{7}.

Passo 6

Agora integrar no intervalo t\in[0,1]:
\int_{C}F\,dr=\int_{0}^{1}\big(t^{3}+2t^{5}-3t^{7}\big)\,dt.
Calcular antiderivadas:
\int t^{3}\,dt=\frac{t^{4}}{4},\qquad \int 2t^{5}\,dt=2\cdot\frac{t^{6}}{6}=\frac{t^{6}}{3},\qquad \int -3t^{7}\,dt=-3\cdot\frac{t^{8}}{8}=-\frac{3t^{8}}{8}.
Portanto a primitiva é
\frac{t^{4}}{4}+\frac{t^{6}}{3}-\frac{3t^{8}}{8}.
Avaliar de 0 a 1:
\left(\frac{1^{4}}{4}+\frac{1^{6}}{3}-\frac{3\cdot1^{8}}{8}\right)-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{0^{6}}{3}-\frac{3\cdot0^{8}}{8}\right) =\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{3}{8}.
Somar as frações com denominador comum 24:
\frac{1}{4}=\frac{6}{24},\quad \frac{1}{3}=\frac{8}{24},\quad \frac{3}{8}=\frac{9}{24}.
Logo
\frac{6}{24}+\frac{8}{24}-\frac{9}{24}=\frac{5}{24}.

Passo 7

Resumo final e checagem rápida: a integral resulta em uma soma de potências fáceis de integrar; o valor obtido é \dfrac{5}{24}. Tudo bate com as contas termo a termo.

Resposta

\dfrac{5}{24}

Exercícios relacionados