Exercício 118. Calcule
, onde
e
é o segmento de reta de ( 0,0 ) a
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde:
- A função vetorial é
. - A curva
é o segmento de reta que vai de a .
O objetivo é encontrar o valor numérico de.
Passo 2
Entendendo o que significa
.
- Para um campo vetorial
e uma curva orientada , a integral de linha é
Aqui
e
são os diferenciais das coordenadas ao longo da curva.
- Forma prática (parâmetrizando a curva): se
é uma parametrização de para em , então
onde o produto escalar
significa multiplicar componente a componente e somar:
.
Vou usar essa forma paramétrica porque é direta e mecânica: primeiro escolhe-se
, depois calcula-se
,
e o produto escalar, e integra-se em
.
Passo 3
Parametrização do segmento de reta de
a
.
- Uma forma geral de parametrizar um segmento de
a é , com . - Aqui
e , então
- A derivada é
Essa parametrização percorre o segmento na orientação pedida (de
para
).
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva: calcular
.
- Substituindo
e em dá
Passo 5
Calcular o produto escalar
.
- Como
, tem-se
Explicando: multiplicou-se a primeira componente por
e a segunda por
, depois somou-se.
Passo 6
Montar e calcular a integral em
.
- Pela fórmula paramétrica,
- Calcule a primitiva passo a passo:
- Portanto a primitiva de
é . Avaliando de a :
- Calcule a diferença:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para entender o campo): poderia pensar em usar uma função potencial se
fosse conservativo. Para isso compararíamos
e
:
como
em geral, o campo não é conservativo, então a integração direta pela parametrização foi o caminho apropriado. (Isto confirma que o procedimento anterior era necessário.)