Exercício 118. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=(2 x y,-y) e C é o segmento de reta de ( 0,0 ) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \int_{C} F\\ d r, onde:
  • A função vetorial é F(x,y)=(2xy,\,-y).
  • A curva C é o segmento de reta que vai de (0,0) a (1,1).
    O objetivo é encontrar o valor numérico de \int_{C} F\\ d r.

Passo 2

Entendendo o que significa \int_{C} F\\ d r.
  • Para um campo vetorial F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) e uma curva orientada C, a integral de linha é
\int_{C} F\\ d r=\int_{C} P\,dx+Q\,dy.
Aqui dx e dy são os diferenciais das coordenadas ao longo da curva.
  • Forma prática (parâmetrizando a curva): se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) é uma parametrização de C para t em [a,b], então
\int_{C} F\\ d r=\int_{a}^{b} F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt,
onde o produto escalar \cdot significa multiplicar componente a componente e somar: (u_1,u_2)\cdot(v_1,v_2)=u_1v_1+u_2v_2.
Vou usar essa forma paramétrica porque é direta e mecânica: primeiro escolhe-se \mathbf{r}(t), depois calcula-se F(\mathbf{r}(t)), \mathbf{r}'(t) e o produto escalar, e integra-se em t.

Passo 3

Parametrização do segmento de reta de (0,0) a (1,1).
  • Uma forma geral de parametrizar um segmento de A a B é \mathbf{r}(t)=A+t(B-A), com t\in[0,1].
  • Aqui A=(0,0) e B=(1,1), então
\mathbf{r}(t)=(t,t),\qquad t\in[0,1].
  • A derivada é
\mathbf{r}'(t)=(1,1).
Essa parametrização percorre o segmento na orientação pedida (de (0,0) para (1,1)).

Passo 4

Avaliar F ao longo da curva: calcular F(\mathbf{r}(t)).
  • Substituindo x=t e y=t em F(x,y)=(2xy,\,-y)
F(\mathbf{r}(t))=\bigl(2\cdot t\cdot t,\; -t\bigr)=(2t^{2},\,-t).

Passo 5

Calcular o produto escalar F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t).
  • Como \mathbf{r}'(t)=(1,1), tem-se
F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)= (2t^{2})\cdot 1 + (-t)\cdot 1 = 2t^{2}-t.
Explicando: multiplicou-se a primeira componente por 1 e a segunda por 1, depois somou-se.

Passo 6

Montar e calcular a integral em t.
  • Pela fórmula paramétrica,
\int_{C} F\\ d r=\int_{0}^{1} \bigl(2t^{2}-t\bigr)\,dt.
  • Calcule a primitiva passo a passo:
\int 2t^{2}\,dt=\frac{2}{3}t^{3},\qquad \int t\,dt=\frac{1}{2}t^{2}.
  • Portanto a primitiva de 2t^{2}-t é \dfrac{2}{3}t^{3}-\dfrac{1}{2}t^{2}. Avaliando de 0 a 1:
\left[\frac{2}{3}t^{3}-\frac{1}{2}t^{2}\right]_{0}^{1}=\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)-0=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}.
  • Calcule a diferença:
\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=\frac{1}{6}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para entender o campo): poderia pensar em usar uma função potencial se F fosse conservativo. Para isso compararíamos \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x:
\frac{\partial }{\partial y}(2xy)=2x,\qquad \frac{\partial }{\partial x}(-y)=0,
como 2x\neq 0 em geral, o campo não é conservativo, então a integração direta pela parametrização foi o caminho apropriado. (Isto confirma que o procedimento anterior era necessário.)

Resposta

\dfrac{1}{6}

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