Exercício 119. Calcule
, onde
e
é a parábola
de ( 0,0 ) a
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha da campo vetorial
ao longo da curva
. Dados e pedido:
- O campo vetorial é
. - A curva
é a parábola orientada de até . - O que se pede: calcular
, ou seja a integral de linha do campo ao longo de com a orientação indicada.
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (aula rápida): a integral de linha de um campo vetorial em
ao longo de uma curva parametrizada é feita assim:
- Se uma curva
é dada por uma parametrização para em , então o elemento diferencial de deslocamento é . - A integral de linha é
Explicando cada símbolo:
dá as coordenadas de um ponto na curva quando
varia;
é o campo avaliado nesse ponto;
é a velocidade (tangente) à curva; o produto escalar
é uma função de
que integro de
a
.
Antes de parametrizar, é comum checar se o campo é conservativo (pois aí poderíamos usar potencial e evitar cálculo direto). Vou verificar isso na próxima etapa.
Passo 3
Teste de conservatividade (breve explicação): num domínio simples, um campo
é conservativo se
. Aqui
e
. Calculo:
Como
em geral, as duas derivadas não coincidem; logo
não é conservativo. Portanto não dá para usar potencial e salvar trabalho — vou calcular a integral diretamente por parametrização.
Passo 4
Parametrização da curva
: a parábola é
e o percurso vai de
a
. Uma parametrização natural é
Verificação rápida: para
temos
e para
temos
; o sentido de
crescente dá a orientação pedida. A derivada (velocidade) é
Passo 5
Substituição do campo na parametrização e cálculo do produto escalar: avalio
na curva:
Agora faço o produto escalar com
:
Calculo termo a termo:
Somando,
Portanto o integrando é a função zero para todo
em
.
Passo 6
Integração final: usando a fórmula da Passo 2,
A integral de zero em qualquer intervalo é zero, logo o valor é
.
Resposta
0