Exercício 119. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=(2 x y,-y) e C é a parábola y=x^{2} de ( 0,0 ) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha da campo vetorial F ao longo da curva C. Dados e pedido:
  • O campo vetorial é F(x,y) = (2xy,\,-y).
  • A curva C é a parábola y=x^{2} orientada de (0,0) até (1,1).
  • O que se pede: calcular \displaystyle \int_{C} F\cdot d r, ou seja a integral de linha do campo F ao longo de C com a orientação indicada.

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (aula rápida): a integral de linha de um campo vetorial em \mathbb{R}^{2} ao longo de uma curva parametrizada é feita assim:
  • Se uma curva C é dada por uma parametrização \mathbf{r}(t) = (x(t),y(t)) para t em [a,b], então o elemento diferencial de deslocamento é \displaystyle d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt=(x'(t),y'(t))\,dt.
  • A integral de linha é
\displaystyle \int_{C} F\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b} F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Explicando cada símbolo: \mathbf{r}(t) dá as coordenadas de um ponto na curva quando t varia; F(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado nesse ponto; \mathbf{r}'(t) é a velocidade (tangente) à curva; o produto escalar F(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) é uma função de t que integro de a a b.
Antes de parametrizar, é comum checar se o campo é conservativo (pois aí poderíamos usar potencial e evitar cálculo direto). Vou verificar isso na próxima etapa.

Passo 3

Teste de conservatividade (breve explicação): num domínio simples, um campo F=(P,Q) é conservativo se \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x. Aqui P(x,y)=2xy e Q(x,y)=-y. Calculo:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-y)=0.
Como 2x\neq 0 em geral, as duas derivadas não coincidem; logo F não é conservativo. Portanto não dá para usar potencial e salvar trabalho — vou calcular a integral diretamente por parametrização.

Passo 4

Parametrização da curva C: a parábola é y=x^{2} e o percurso vai de (0,0) a (1,1). Uma parametrização natural é
\mathbf{r}(t)=(t,\,t^{2}),\qquad t\in[0,1].
Verificação rápida: para t=0 temos (0,0) e para t=1 temos (1,1); o sentido de t crescente dá a orientação pedida. A derivada (velocidade) é
\mathbf{r}'(t)=(1,\,2t).

Passo 5

Substituição do campo na parametrização e cálculo do produto escalar: avalio F na curva:
F(\mathbf{r}(t))=F(t,\,t^{2})=\bigl(2\cdot t\cdot t^{2},\,-t^{2}\bigr)=(2t^{3},\,-t^{2}).
Agora faço o produto escalar com \mathbf{r}'(t):
F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)=(2t^{3},\,-t^{2})\cdot(1,\,2t)=2t^{3}\cdot 1 + (-t^{2})\cdot(2t).
Calculo termo a termo:
2t^{3}\cdot 1 = 2t^{3}, \qquad (-t^{2})\cdot(2t) = -2t^{3}.
Somando,
F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)=2t^{3}-2t^{3}=0.
Portanto o integrando é a função zero para todo t em [0,1].

Passo 6

Integração final: usando a fórmula da Passo 2,
\displaystyle \int_{C} F\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{1} \bigl(F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\bigr)\,dt=\int_{0}^{1} 0\,dt.
A integral de zero em qualquer intervalo é zero, logo o valor é 0.

Resposta

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