Exercício 120. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=(2 x y,-y) e C é a parábola x=y^{2} de ( 0,0 ) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} F\,dr onde F(x,y)=(2xy,-y) e C é a parábola x=y^{2} orientada de (0,0) até (1,1).
Informações dadas:
  • Campo vetorial: F(x,y)=(2xy,-y).
  • Curva C: x=y^{2}, com início em (0,0) e fim em (1,1).
  • Objetivo: calcular \displaystyle \int_{C} F\cdot dr.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicando o que é cada coisa):
Se uma curva C é dada por uma parametrização \displaystyle r(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], então a integral de linha do campo F=(P,Q) ao longo de C é
\displaystyle \int_{C} F\cdot dr = \int_{a}^{b} F\big(r(t)\big)\cdot r'(t)\,dt.
Aqui:
  • r(t) é a posição de um ponto na curva para o parâmetro t.
  • r'(t) é a derivada de r(t), ou seja o vetor velocidade (x'(t),y'(t)).
  • F(r(t)) é o campo avaliado na curva.
  • O ponto \cdot representa o produto escalar entre vetores.
Esse é o método direto e básico para integrar um campo vetorial ao longo de uma curva — é o jeito que dá menos trabalho na prova.

Passo 3

Escolhemos uma parametrização simples da parábola x=y^{2}. Como a curva vai de (0,0) até (1,1), uma escolha natural é usar y como parâmetro:
\text{tomar } t=y,\qquad x=t^{2},\qquad y=t,\qquad t\in[0,1].
Assim definimos
r(t)=(t^{2},t),\qquad 0\le t\le 1.
Verificação rápida dos extremos: r(0)=(0,0) e r(1)=(1,1), então a orientação pedida está correta.

Passo 4

Calcular a derivada r'(t) componente a componente:
r'(t)=\big(x'(t),y'(t)\big)=(2t,1).
Expliquei: derivada de t^{2} é 2t; derivada de t é 1.

Passo 5

Avaliar o campo F ao longo da curva, ou seja calcular F(r(t)). Lembrando F(x,y)=(2xy,-y), substituímos x=t^{2} e y=t:
F\big(r(t)\big)=\big(2\cdot t^{2}\cdot t,\,-t\big)=(2t^{3},-t).

Passo 6

Formar o integrando fazendo o produto escalar F(r(t))\cdot r'(t):
F\big(r(t)\big)\cdot r'(t) = (2t^{3},-t)\cdot(2t,1) = 2t^{3}\cdot 2t + (-t)\cdot 1 = 4t^{4}-t.
Expliquei: multiplica componente a componente e soma.

Passo 7

Agora integramos no intervalo t\in[0,1]:
\displaystyle \int_{C} F\cdot dr = \int_{0}^{1} \big(4t^{4}-t\big)\,dt.
Calcule a primitiva passo a passo:
\int 4t^{4}\,dt = 4\cdot \frac{t^{5}}{5}=\frac{4}{5}t^{5}, \qquad \int -t\,dt = -\frac{t^{2}}{2}.
Portanto a primitiva é \displaystyle \frac{4}{5}t^{5}-\frac{t^{2}}{2}. Avaliando de 0 a 1:
\left[\frac{4}{5}t^{5}-\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{4}{5}\cdot1-\frac{1}{2}\right)-0 = \frac{4}{5}-\frac{1}{2}.
Fazendo a subtração em frações com denominador 10:
\frac{4}{5}-\frac{1}{2}=\frac{8}{10}-\frac{5}{10}=\frac{3}{10}.

Passo 8

(pequeno comentário de verificação) Às vezes dá para tentar ver se o campo é conservativo e usar potencial, mas aqui \partial P/\partial y=\partial(2xy)/\partial y=2x e \partial Q/\partial x=\partial(-y)/\partial x=0, não são iguais, então F não é conservativo e o método direto por parametrização é o adequado — que é o que fizemos.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{10}

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