Exercício 120. Calcule
, onde
e
é a parábola
de ( 0,0 ) a
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é a parábola
orientada de
até
.
Informações dadas:
- Campo vetorial:
. - Curva
: , com início em e fim em . - Objetivo: calcular
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicando o que é cada coisa):
Se uma curva
é dada por uma parametrização
,
, então a integral de linha do campo
ao longo de
é
Aqui:
-
é a posição de um ponto na curva para o parâmetro . -
é a derivada de , ou seja o vetor velocidade . -
é o campo avaliado na curva. - O ponto
representa o produto escalar entre vetores.
Esse é o método direto e básico para integrar um campo vetorial ao longo de uma curva — é o jeito que dá menos trabalho na prova.
Passo 3
Escolhemos uma parametrização simples da parábola
. Como a curva vai de
até
, uma escolha natural é usar
como parâmetro:
Assim definimos
Verificação rápida dos extremos:
e
, então a orientação pedida está correta.
Passo 4
Calcular a derivada
componente a componente:
Expliquei: derivada de
é
; derivada de
é
.
Passo 5
Avaliar o campo
ao longo da curva, ou seja calcular
. Lembrando
, substituímos
e
:
Passo 6
Formar o integrando fazendo o produto escalar
:
Expliquei: multiplica componente a componente e soma.
Passo 7
Agora integramos no intervalo
:
Calcule a primitiva passo a passo:
Portanto a primitiva é
. Avaliando de
a
:
Fazendo a subtração em frações com denominador
:
Passo 8
(pequeno comentário de verificação) Às vezes dá para tentar ver se o campo é conservativo e usar potencial, mas aqui
e
, não são iguais, então
não é conservativo e o método direto por parametrização é o adequado — que é o que fizemos.