Exercício 123. Calcule
, onde
e
é a parábola
de
a
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
, onde:
-
. Ou seja, o campo tem componentes - A curva
é a parábola que vai do ponto até o ponto .
O que se pede: o valor numérico de
ao longo dessa curva orientada do ponto inicial
ao ponto final
.
Passo 2
Opções de método (breve): calcular a integral pela parametrização da curva (substituir
, transformar em integral em
) ou verificar se
é conservativo (tem potencial) e então usar o teorema fundamental das integrais de linha, que reduz o problema a avaliar uma função potencial nos extremos. Vou escolher usar o teste de campo conservativo porque costuma ser mais rápido quando dá certo.
Lembrete do teste: para um campo
definido num domínio simplesmente conexo, se
então
é conservativo (existe uma função potencial
tal que
) e
Agora calculo as derivadas parciais:
Como
, o campo é conservativo (o domínio todo de
é simplesmente conexo), então posso usar potencial.
Passo 3
Vou encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa:
Integro
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Agora uso a segunda condição: derivo essa expressão em relação a
e igualo a
:
Daqui segue
. Integrando em
:
Posso escolher
pois potenciais diferentes por constante dão a mesma integral de linha. Assim
Passo 4
Pelo teorema fundamental para campos conservativos:
Calculo os valores:
Portanto
Passo 5
(Apenas para reforçar e aprender também pelo método direto) Vou checar pela parametrização da curva
. Parametro por
, com
indo de
a
:
Então
Substituo em
:
Logo o integrando é
Integro de
a
:
confirmando o resultado obtido pelo potencial.