Exercício 123. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=\left(6 x y, 3 x^{2}+2 y\right) e C é a parábola x=y^{2} de (0,0) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C}F\cdot dr, onde:
  • F(x,y)=\bigl(6xy,\;3x^{2}+2y\bigr). Ou seja, o campo tem componentes P(x,y)=6xy,\qquad Q(x,y)=3x^{2}+2y.
  • A curva C é a parábola x=y^{2} que vai do ponto (0,0) até o ponto (1,1).
O que se pede: o valor numérico de \displaystyle\int_{C}F\cdot dr ao longo dessa curva orientada do ponto inicial (0,0) ao ponto final (1,1).

Passo 2

Opções de método (breve): calcular a integral pela parametrização da curva (substituir x(t),y(t), transformar em integral em t) ou verificar se F é conservativo (tem potencial) e então usar o teorema fundamental das integrais de linha, que reduz o problema a avaliar uma função potencial nos extremos. Vou escolher usar o teste de campo conservativo porque costuma ser mais rápido quando dá certo.
Lembrete do teste: para um campo F=(P,Q) definido num domínio simplesmente conexo, se
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
então F é conservativo (existe uma função potencial f tal que \nabla f=F) e
\int_{C}F\cdot dr = f(\text{ponto final})-f(\text{ponto inicial}).
Agora calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(6xy)=6x, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}+2y)=6x.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=6x, o campo é conservativo (o domínio todo de \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexo), então posso usar potencial.

Passo 3

Vou encontrar a função potencial f(x,y) tal que \nabla f=(P,Q). Isso significa:
\frac{\partial f}{\partial x}=P=6xy,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q=3x^{2}+2y.
Integro \dfrac{\partial f}{\partial x}=6xy em relação a x (tratando y como constante):
f(x,y)=\int 6xy\,dx = 3x^{2}y + g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x).
Agora uso a segunda condição: derivo essa expressão em relação a y e igualo a Q:
\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}+g'(y) \stackrel{!}{=} 3x^{2}+2y.
Daqui segue g'(y)=2y. Integrando em y:
g(y)=\int 2y\,dy = y^{2}+C.
Posso escolher C=0 pois potenciais diferentes por constante dão a mesma integral de linha. Assim
f(x,y)=3x^{2}y + y^{2}.

Passo 4

Pelo teorema fundamental para campos conservativos:
\int_{C}F\cdot dr = f(1,1)-f(0,0).
Calculo os valores:
f(1,1)=3\cdot1^{2}\cdot1 + 1^{2}=3+1=4, \qquad f(0,0)=0.
Portanto
\int_{C}F\cdot dr = 4.

Passo 5

(Apenas para reforçar e aprender também pelo método direto) Vou checar pela parametrização da curva x=y^{2}. Parametro por y=t, com t indo de 0 a 1:
x(t)=t^{2},\qquad y(t)=t,\qquad 0\le t\le1.
Então
dx=2t\,dt,\qquad dy=dt.
Substituo em P\,dx+Q\,dy:
P(x(t),y(t))=6x y=6(t^{2})(t)=6t^{3}, \qquad Q(x(t),y(t))=3x^{2}+2y=3t^{4}+2t.
Logo o integrando é
P\,dx+Q\,dy = 6t^{3}\cdot(2t\,dt) + (3t^{4}+2t)\,dt = (12t^{4}+3t^{4}+2t)\,dt = (15t^{4}+2t)\,dt.
Integro de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(15t^{4}+2t)\,dt = 15\cdot\frac{1}{5}+2\cdot\frac{1}{2}=3+1=4,
confirmando o resultado obtido pelo potencial.

Resposta

4

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