Exercício 12. A altura da cabine de uma roda gigante é descrita em função do tempo (em min) por
h(t)=76+75 \operatorname{sen}\left(\frac{\pi t}{15}-\frac{\pi}{2}\right)
Determine as alturas máxima e mínima da cabine.

Passo 1

O enunciado nos dá a altura da cabine em função do tempo t (minutos):
h(t)=76+75\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi t}{15}-\frac{\pi}{2}\right).
O que se pede: determinar as alturas máxima e mínima da cabine. Informações relevantes fornecidas:
  • A função h(t) está escrita como uma constante 76 somada a 75 vezes uma função seno.
  • O tempo t está em minutos.
  • Não foi dada outra restrição de domínio, logo t pode variar em todo \mathbb{R} ou pelo menos em t\ge0.

Passo 2

Entendendo a forma geral: funções do tipo
h(t)=C+A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi)
são ondas senoidais deslocadas verticalmente. Vou explicar o que cada símbolo significa:
  • A é a amplitude: é o valor máximo de variação em torno da média; sempre se toma |A|.
  • C é o deslocamento vertical (valor médio): a curva oscila em torno de C.
  • \omega é a frequência angular (relacionada ao período), e \varphi é a fase (deslocamento horizontal).
    No nosso caso, comparando com a forma geral:
  • A=75 (amplitude),
  • C=76 (deslocamento vertical),
  • \omega=\dfrac{\pi}{15} e \varphi=-\dfrac{\pi}{2}, embora não precisemos desses dois para achar as alturas extrema.

Passo 3

Propriedade básica do seno: para qualquer argumento real x vale
-1\le \operatorname{sen}(x)\le 1,
com máximos \operatorname{sen}(x)=1 e mínimos \operatorname{sen}(x)=-1. Assim, plugando na expressão de h(t):
  • O valor máximo de h(t) ocorre quando \operatorname{sen}(\cdot)=1.
  • O valor mínimo de h(t) ocorre quando \operatorname{sen}(\cdot)=-1.

Passo 4

Calcular as alturas extrema usando amplitude e deslocamento:
  • Altura máxima:
h_{\max}=76+75\cdot 1=76+75=151.
  • Altura mínima:
h_{\min}=76+75\cdot(-1)=76-75=1.

Passo 5

(Uma observação prática, caso queira saber quando ocorrem esses extremos:)
  • Para máximo, resolve-se
\frac{\pi t}{15}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
dividindo por \pi e isolando t:
\frac{t}{15}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+2k\quad\Rightarrow\quad t=15(1+2k)=15+30k.
Ou seja, o primeiro máximo aparece em t=15 min.
  • Para mínimo, resolve-se
\frac{\pi t}{15}-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
o que dá
\frac{t}{15}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}+2k\quad\Rightarrow\quad t=30k.
Ou seja, o primeiro mínimo aparece em t=0 min.

Resposta

Altura máxima: 151\\ \text{m}
Altura mínima: 1\\ \text{m}

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