Exercício 12. A altura da cabine de uma roda gigante é descrita em função do tempo (em min) por
Determine as alturas máxima e mínima da cabine.
Passo 1
O enunciado nos dá a altura da cabine em função do tempo
(minutos):
O que se pede: determinar as alturas máxima e mínima da cabine. Informações relevantes fornecidas:
- A função
está escrita como uma constante somada a vezes uma função seno. - O tempo
está em minutos. - Não foi dada outra restrição de domínio, logo
pode variar em todo ou pelo menos em .
Passo 2
Entendendo a forma geral: funções do tipo
são ondas senoidais deslocadas verticalmente. Vou explicar o que cada símbolo significa:
-
é a amplitude: é o valor máximo de variação em torno da média; sempre se toma . -
é o deslocamento vertical (valor médio): a curva oscila em torno de . -
é a frequência angular (relacionada ao período), e é a fase (deslocamento horizontal).
No nosso caso, comparando com a forma geral: -
(amplitude), -
(deslocamento vertical), -
e , embora não precisemos desses dois para achar as alturas extrema.
Passo 3
Propriedade básica do seno: para qualquer argumento real
vale
com máximos
e mínimos
. Assim, plugando na expressão de
:
- O valor máximo de
ocorre quando . - O valor mínimo de
ocorre quando .
Passo 4
Calcular as alturas extrema usando amplitude e deslocamento:
- Altura máxima:
- Altura mínima:
Passo 5
(Uma observação prática, caso queira saber quando ocorrem esses extremos:)
- Para máximo, resolve-se
dividindo por
e isolando
:
Ou seja, o primeiro máximo aparece em
min.
- Para mínimo, resolve-se
o que dá
Ou seja, o primeiro mínimo aparece em
min.
Resposta
Altura máxima:
Altura mínima:
Altura mínima: