Exercício 11. Determine os domínios das seguintes funções inversas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se determine o domínio de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função considerada é
(arco-seno), escrita aqui como . - A pergunta explícita é: qual é o conjunto de valores de
para os quais está definida?
Passo 2
Entender o que significa
. Vou explicar devagarinho e com carinho.
- A função
é a função inversa do seno quando este é restrito ao ramo principal . - Em palavras: para todo
vale . - Regra importante para inversas: o domínio da função inversa é igual à imagem (conjunto de valores) da função original no ramo escolhido. Aqui, o seno (no ramo principal) produz certos valores; esses valores é que podem ser a entrada de
.
Passo 3
Determinar quais valores o seno (no ramo principal) assume. Dois fatos chave e fáceis de lembrar:
- Para qualquer ângulo real
tem-se sempre . Isso é uma propriedade básica do seno. Portanto nenhum valor fora do intervalo pode ser um seno de algum ângulo. - Especificamente, ao variar
em , a função percorre todo o intervalo de forma contínua (ou seja, atinge todos os valores entre e ).
Passo 4
Verificar os extremos (para garantir que os extremos
e
estão realmente incluídos):
-
. Logo existe um no ramo principal cujo seno é . Isso implica que — ou seja, pertence ao domínio de . -
. Logo — ou seja, também pertence ao domínio.
Passo 5
Conclusão didática: como a imagem do seno no ramo
é exatamente o intervalo
, e o domínio da função inversa é essa imagem, temos que o domínio de
é o intervalo fechado
. Dica rápida para a prova: sempre que vir
lembre-se imediatamente que só pode receber entradas entre
e
; por exemplo
,
.