Exercício 11. Determine os domínios das seguintes funções inversas:
f(x)=\operatorname{arcsen} x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\operatorname{arcsen} x e pede que se determine o domínio de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função considerada é \operatorname{arcsen} (arco-seno), escrita aqui como f.
  • A pergunta explícita é: qual é o conjunto de valores de x para os quais f(x)=\operatorname{arcsen} x está definida?

Passo 2

Entender o que significa \operatorname{arcsen}. Vou explicar devagarinho e com carinho.
  • A função \operatorname{arcsen} é a função inversa do seno quando este é restrito ao ramo principal \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
  • Em palavras: para todo y\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] vale \operatorname{arcsen}(\sin y)=y.
  • Regra importante para inversas: o domínio da função inversa é igual à imagem (conjunto de valores) da função original no ramo escolhido. Aqui, o seno (no ramo principal) produz certos valores; esses valores é que podem ser a entrada de \operatorname{arcsen}.

Passo 3

Determinar quais valores o seno (no ramo principal) assume. Dois fatos chave e fáceis de lembrar:
  • Para qualquer ângulo real t tem-se sempre -1\le \sin t\le 1. Isso é uma propriedade básica do seno. Portanto nenhum valor fora do intervalo [-1,1] pode ser um seno de algum ângulo.
  • Especificamente, ao variar y em \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], a função \sin y percorre todo o intervalo [-1,1] de forma contínua (ou seja, atinge todos os valores entre -1 e 1).

Passo 4

Verificar os extremos (para garantir que os extremos -1 e 1 estão realmente incluídos):
  • \sin\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1. Logo existe um y no ramo principal cujo seno é -1. Isso implica que \operatorname{arcsen}(-1)=-\dfrac{\pi}{2} — ou seja, -1 pertence ao domínio de \operatorname{arcsen}.
  • \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1. Logo \operatorname{arcsen}(1)=\dfrac{\pi}{2} — ou seja, 1 também pertence ao domínio.

Passo 5

Conclusão didática: como a imagem do seno no ramo \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] é exatamente o intervalo [-1,1], e o domínio da função inversa é essa imagem, temos que o domínio de \operatorname{arcsen} é o intervalo fechado [-1,1]. Dica rápida para a prova: sempre que vir \operatorname{arcsen} lembre-se imediatamente que só pode receber entradas entre -1 e 1; por exemplo \operatorname{arcsen}(0)=0, \operatorname{arcsen}(1)=\dfrac{\pi}{2}.

Resposta

[-1,1]

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