Exercício 12. A altura da cabine de uma roda gigante é descrita em função do tempo (em min) por
h(t)=76+75 \operatorname{sen}\left(\frac{\pi t}{15}-\frac{\pi}{2}\right)
Determine quanto tempo a roda gigante demora para dar uma volta completa (ou seja, o período de h(t) ).

Passo 1

O enunciado dá a função da altura da cabine em função do tempo (em minutos):
h(t)=76+75\sin\!\left(\frac{\pi t}{15}-\frac{\pi}{2}\right).
O que a questão pede: determinar quanto tempo a roda gigante demora para dar uma volta completa — isto é, achar o período da função h(t).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{amplitude}=75,\qquad \text{deslocamento vertical}=76,
e o argumento da função seno é \dfrac{\pi t}{15}-\dfrac{\pi}{2}. O coeficiente do t dentro do seno é \omega=\dfrac{\pi}{15}. Observação importante: a amplitude e o deslocamento vertical não alteram o período; o que determina o período é somente o coeficiente que multiplica t dentro do seno.

Passo 2

Lembrete didático (por que o período do seno é 2\pi e como isso muda com um coeficiente no tempo).
A função seno básica \sin(x) é periódica de período 2\pi, ou seja,
\sin(x+2\pi)=\sin(x)\quad\text{para todo }x.
Para uma função da forma \sin(\omega t+\varphi) (com \omega>0 e \varphi constante), procura-se o menor T>0 tal que
\sin(\omega (t+T)+\varphi)=\sin(\omega t+\varphi)\quad\text{para todo }t.
Isto equivale a exigir
\omega(t+T)+\varphi=\omega t+\varphi+2\pi k
para algum inteiro k. Cancelando termos iguais obtemos \omega T=2\pi k. O menor T>0 ocorre para k=1, portanto o período dessa função é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Explicação intuitiva: multiplicar t por \omega “compressa” ou “esticá” horizontalmente a função; para compensar essa compressão/estica e recuperar o avanço de 2\pi no argumento do seno, o tempo precisa ser 2\pi/\omega.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: identificamos o coeficiente de t no argumento do seno como
\omega=\frac{\pi}{15}.
Então o período T satisfaz
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\pi/15}.

Passo 4

Simplificando a expressão obtida:
T=\frac{2\pi}{\pi/15}=2\pi\cdot\frac{15}{\pi}=2\cdot15=30.
Portanto o período calculado é 30 (unidades de tempo são minutos, porque t está em minutos).

Passo 5

Verificação direta por substituição (checa que não houve erro algébrico):
\frac{\pi}{15}(t+30)-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi t}{15}+\frac{\pi\cdot30}{15}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi t}{15}+2\pi-\frac{\pi}{2}=\left(\frac{\pi t}{15}-\frac{\pi}{2}\right)+2\pi.
Como \sin(x+2\pi)=\sin(x), segue que
h(t+30)=76+75\sin\!\left(\frac{\pi}{15}(t+30)-\frac{\pi}{2}\right)=76+75\sin\!\left(\frac{\pi t}{15}-\frac{\pi}{2}\right)=h(t),
logo 30 minutos é realmente um período da função; é o menor positivo por construção.

Resposta

30\\ \text{minutos}

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