Exercício 12. A altura da cabine de uma roda gigante é descrita em função do tempo (em min) por
Determine quanto tempo a roda gigante demora para dar uma volta completa (ou seja, o período de
).
Passo 1
O enunciado dá a função da altura da cabine em função do tempo (em minutos):
O que a questão pede: determinar quanto tempo a roda gigante demora para dar uma volta completa — isto é, achar o período da função
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
e o argumento da função seno é
. O coeficiente do
dentro do seno é
. Observação importante: a amplitude e o deslocamento vertical não alteram o período; o que determina o período é somente o coeficiente que multiplica
dentro do seno.
Passo 2
Lembrete didático (por que o período do seno é
e como isso muda com um coeficiente no tempo).
A função seno básica
é periódica de período
, ou seja,
Para uma função da forma
(com
e
constante), procura-se o menor
tal que
Isto equivale a exigir
para algum inteiro
. Cancelando termos iguais obtemos
. O menor
ocorre para
, portanto o período dessa função é
Explicação intuitiva: multiplicar
por
“compressa” ou “esticá” horizontalmente a função; para compensar essa compressão/estica e recuperar o avanço de
no argumento do seno, o tempo precisa ser
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: identificamos o coeficiente de
no argumento do seno como
Então o período
satisfaz
Passo 4
Simplificando a expressão obtida:
Portanto o período calculado é
(unidades de tempo são minutos, porque
está em minutos).
Passo 5
Verificação direta por substituição (checa que não houve erro algébrico):
Como
, segue que
logo
minutos é realmente um período da função; é o menor positivo por construção.