Exercício 11. Determine os domínios das seguintes funções inversas:
h(x)=\operatorname{arctg} x

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\operatorname{arctg} x e pede para determinar o domínio da função inversa de h (ou seja, de h^{-1}).
Informações fornecidas:
  • A função considerada é \;h(x)=\operatorname{arctg} x.
  • A pergunta é: qual é o domínio de h^{-1}?

Passo 2

O que é domínio da inversa? Vamos lembrar a definição e uma propriedade chave (sem mistério): se uma função f tem inversa f^{-1}, então o domínio de f^{-1} é exatamente a imagem (o conjunto de valores) de f. Em símbolos:
\text{Dom}(f^{-1})=\text{Im}(f).
Portanto, para achar \text{Dom}(h^{-1}) precisamos encontrar a imagem (o conjunto de valores que h assume) da função \;h(x)=\operatorname{arctg} x.

Passo 3

O que é \operatorname{arctg} x? Por definição, \operatorname{arctg} (arctangente) é a função inversa da tangente restrita ao intervalo \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Isso significa que, para todo x\in\mathbb{R}, \operatorname{arctg} x é o único número y\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) tal que \tan y = x. Dessa definição já vem uma observação importante: \operatorname{arctg} está definida para todo número real x, isto é, o domínio de \operatorname{arctg} é \mathbb{R}.

Passo 4

Agora vamos ver quais valores \operatorname{arctg} x pode assumir (a imagem). Pelo que dissemos, para cada x\in\mathbb{R} a solução y de \tan y = x é tomada no intervalo \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Além disso, a função \tan y em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) é contínua, estritamente crescente e tem
\lim_{y\to\frac{\pi}{2}^-}\tan y = +\infty,\qquad \lim_{y\to-\frac{\pi}{2}^+}\tan y = -\infty,
portanto atinge todos os valores reais quando y varia em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Daí segue que, invertendo, \operatorname{arctg}:\mathbb{R}\to\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) é sobrejetora nesse intervalo. Em palavras: os valores possíveis de \operatorname{arctg} x são exatamente todos os números entre -\dfrac{\pi}{2} e \dfrac{\pi}{2}, sem incluir as extremidades.

Passo 5

Conclusão intermediária: a imagem (o conjunto de valores) de h(x)=\operatorname{arctg} x é
\text{Im}(h)=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).

Passo 6

Aplicando a propriedade do Passo 2 (domínio da inversa = imagem da função), obtemos
\text{Dom}\big(h^{-1}\big)=\text{Im}(h)=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
Além disso, a expressão analítica de h^{-1} é h^{-1}(x)=\tan x, e isso faz sentido porque \tan x está bem definida exatamente em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) (nos limites x\to\pm\dfrac{\pi}{2} a tangente tem assíntotas).

Resposta

\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)

Exercícios relacionados