Exercício 11. Determine os domínios das seguintes funções inversas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar o domínio da função inversa de
(ou seja, de
).
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função considerada é
. - A pergunta é: qual é o domínio de
?
Passo 2
O que é domínio da inversa? Vamos lembrar a definição e uma propriedade chave (sem mistério): se uma função
tem inversa
, então o domínio de
é exatamente a imagem (o conjunto de valores) de
. Em símbolos:
Portanto, para achar
precisamos encontrar a imagem (o conjunto de valores que
assume) da função
.
Passo 3
O que é
? Por definição,
(arctangente) é a função inversa da tangente restrita ao intervalo
. Isso significa que, para todo
,
é o único número
tal que
. Dessa definição já vem uma observação importante:
está definida para todo número real
, isto é, o domínio de
é
.
Passo 4
Agora vamos ver quais valores
pode assumir (a imagem). Pelo que dissemos, para cada
a solução
de
é tomada no intervalo
. Além disso, a função
em
é contínua, estritamente crescente e tem
portanto atinge todos os valores reais quando
varia em
. Daí segue que, invertendo,
é sobrejetora nesse intervalo. Em palavras: os valores possíveis de
são exatamente todos os números entre
e
, sem incluir as extremidades.
Passo 5
Conclusão intermediária: a imagem (o conjunto de valores) de
é
Passo 6
Aplicando a propriedade do Passo 2 (domínio da inversa = imagem da função), obtemos
Além disso, a expressão analítica de
é
, e isso faz sentido porque
está bem definida exatamente em
(nos limites
a tangente tem assíntotas).