Exercício 9. (Apostol, capítulo 5.20, exercício 2) Seja uma matriz unitária (ou seja, ortogonal). Mostre que
a) Se é um autovalor de , então é igual a 1 ou -1 .
b) Se é um autovalor de , então também é um autovalor de .
c) Se é ímpar, então tem ao menos um autovalor real.
Passo 1
O enunciado considera uma matriz ortogonal, ou seja,
Precisamos usar que ortogonalidade preserva a norma euclidiana e que o polinômio característico de uma matriz real tem coeficientes reais, de modo que, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, qualquer polinômio de grau ímpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real.
Passo 2
Seja um autovalor de e um autovetor associado, ou seja,
Como é ortogonal, ela preserva norma, então
Dividindo por obtemos . Em particular, se for real, então ou .
Passo 3
Para mostrar que também é autovalor, basta notar que, ao conjugarmos a equação (com possivelmente em ), obtemos
ou seja, x é autovetor de A associado a barlambda. Logo barlambda é autovalor de A.
Passo 4
O polinômio característico de A é de grau n e tem coeficientes reais. Se n é ímpar, esse polinômio tem pelo menos uma raiz real lambda. Como já vimos, todo autovalor satisfaz |lambda|=1, e sendo real fica lambda=pm1. Assim A tem ao menos um autovalor real.
Resposta
a) Todo autovalor lambda satisfaz |lambda|=1 e, se lambdain R, então lambda=pm1.
b) Se lambda é autovalor, então barlambda também é autovalor.
c) Se n é ímpar, existe pelo menos um autovalor real lambda, necessariamente lambda=pm1.