Exercício 9. (Apostol, capítulo 5.20, exercício 2) Seja A in Mn times n(R) uma matriz unitária (ou seja, ortogonal). Mostre que
a) Se lambda é um autovalor de A, então lambda é igual a 1 ou -1 .
b) Se lambda é um autovalor de A, então barlambda também é um autovalor de A.
c) Se n é ímpar, então A tem ao menos um autovalor real.

Passo 1

O enunciado considera uma matriz Ain Mntimes n( R) ortogonal, ou seja,
A^T A = I
Precisamos usar que ortogonalidade preserva a norma euclidiana e que o polinômio característico de uma matriz real tem coeficientes reais, de modo que, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, qualquer polinômio de grau ímpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real.

Passo 2

Seja lambda um autovalor de A e xneq0 um autovetor associado, ou seja,
A x = lambda x
Como A é ortogonal, ela preserva norma, então
|x| = |A x| = |lambda x| = |lambda|,|x|
Dividindo por |x|neq0 obtemos |lambda|=1. Em particular, se lambda for real, então lambda=1 ou lambda=-1.

Passo 3

Para mostrar que barlambda também é autovalor, basta notar que, ao conjugarmos a equação A x=lambda x (com x possivelmente em C^n), obtemos
A,x = A x = lambda x = barlambda,x,
ou seja, x é autovetor de A associado a barlambda. Logo barlambda é autovalor de A.

Passo 4

O polinômio característico de A é de grau n e tem coeficientes reais. Se n é ímpar, esse polinômio tem pelo menos uma raiz real lambda. Como já vimos, todo autovalor satisfaz |lambda|=1, e sendo real fica lambda=pm1. Assim A tem ao menos um autovalor real.

Resposta

a) Todo autovalor lambda satisfaz |lambda|=1 e, se lambdain R, então lambda=pm1.
b) Se lambda é autovalor, então barlambda também é autovalor.
c) Se n é ímpar, existe pelo menos um autovalor real lambda, necessariamente lambda=pm1.

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