Exercício 12. (Apostol, capítulo 8.9, exercício 22) Seja f: R^n R um função diferenciável.
a) Mostre que não existe x in R^n tal que partial fpartial v(x)>0 para todo v in R^n.
b) Dê um exemplo de uma função f e um vetor v in R^n tal que partial fpartial v(x)>0 para todo x in R^n.

Passo 1

O enunciado trata de derivadas direcionais de uma função diferenciável f:R^ntoR.
a) Queremos mostrar que não existe ponto x tal que
partial fpartial v(x)>0 para todo vetor vinR^n.
b) Precisamos dar um exemplo de f e um vetor fixo v para os quais
partial fpartial v(x)>0 em todo x.
Para isso vamos usar a relação entre derivada direcional e gradiente:
partial fpartial v(x)=nabla f(x)cdot v

Passo 2

(a) Suponha, por absurdo, que exista x0 tal que
nabla f(x0)cdot v>0 para todo v.
Se nabla f(x0)=0, então nabla f(x0)cdot v=0 para todo v, contradizendo “ >0”.
Se nabla f(x0)neq0, escolha v=-nabla f(x0). Então
nabla f(x0)cdot v =nabla f(x0)cdotl(-nabla f(x0)r) =-|nabla f(x0)|^2<0,
o que também contradiz a suposição. Portanto não existe tal x0.

Passo 3

(b) Para ter nabla f(x)cdot v>0 em todo x, basta ter nabla f constante e não nulo, e escolher v alinhado a esse gradiente. Por exemplo, em R^n defina
f(x)=ucdot x,
onde uinR^nsetminus0. Então nabla f(x)=u para todo x. Se tomarmos v=u, temos
partial fpartial v(x)=nabla f(x)cdot v =ucdot u=|u|^2>0 para todo x
Em particular, escolhendo u=(1,0,dots,0) e v=(1,0,dots,0), a função f(x)=x1 satisfaz
partial f/partial v(x)=1>0 em todo R^n.

Resposta

a) Não existe ponto x com partial f/partial v(x)>0 para todo v.
b) Um exemplo é f(x)=x1 e v=(1,0,dots,0), pois partial f/partial v(x)=1>0 em todo R^n.

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