Exercício 12. (Apostol, capítulo 8.9, exercício 22) Seja
um função diferenciável.
a) Mostre que não existe
tal que
para todo
.
b) Dê um exemplo de uma função
e um vetor
tal que
para todo
.
a) Mostre que não existe
b) Dê um exemplo de uma função
Passo 1
O enunciado trata de derivadas direcionais de uma função diferenciável
.
a) Queremos mostrar que não existe ponto tal que
para todo vetor
.
b) Precisamos dar um exemplo de e um vetor fixo
para os quais
em todo
.
Para isso vamos usar a relação entre derivada direcional e gradiente:
a) Queremos mostrar que não existe ponto
b) Precisamos dar um exemplo de
Para isso vamos usar a relação entre derivada direcional e gradiente:
Passo 2
(a) Suponha, por absurdo, que exista
tal que
para todo
.
Se , então
para todo
, contradizendo “
”.
Se , escolha
. Então
Se
Se
o que também contradiz a suposição. Portanto não existe tal
.
Passo 3
(b) Para ter
em todo
, basta ter
constante e não nulo, e escolher
alinhado a esse gradiente. Por exemplo, em
defina
onde
. Então
para todo
. Se tomarmos
, temos
Em particular, escolhendo
e
, a função
satisfaz
em todo
.
Resposta
a) Não existe ponto
com
para todo
.
b) Um exemplo é e
, pois
em todo
.
b) Um exemplo é