Exercício 12. (Apostol seção 12.13 exercícios 1, 2, 3 e 4) Nos exercícios abaixo, transforme a integral
numa integral de linha e calcule a integral. Use o teorema de Stokes.
, em que
é o hemisfério
é a normal que aponta para cima.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
onde
,
é o hemisfério
e
aponta para cima. Vamos usar o Teorema de Stokes para transformá-la numa integral de linha ao longo da fronteira
.
Passo 2
O Teorema de Stokes afirma
onde a orientação de
deve ser compatível com
. Como
aponta para cima,
é o círculo unitário no plano
orientado no sentido anti-horário. Parametrizamos
Passo 3
Em cada ponto da curva temos
Passo 4
O produto escalar é
Logo a integral de linha fica
Usando
temos