Exercício 12. (Apostol seção 12.13 exercícios 1, 2, 3 e 4) Nos exercícios abaixo, transforme a integral ∬ ∇ × F n d S numa integral de linha e calcule a integral. Use o teorema de Stokes.
F(x, y, z)=(y^2, x y, x z), em que S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=1, z >= 0, n é a normal que aponta para cima.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
integral duplaS(nabla times F) cdot n , dS,
onde F(x,y,z) = (y^2, xy, xz), S é o hemisfério
x^2 + y^2 + z^2 = 1, ; z >= 0 e n aponta para cima. Vamos usar o Teorema de Stokes para transformá-la numa integral de linha ao longo da fronteira partial S.

Passo 2

O Teorema de Stokes afirma
integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS ;=;ointpartial SFcdot dr,
onde a orientação de partial S deve ser compatível com n. Como n aponta para cima, partial S é o círculo unitário no plano z=0 orientado no sentido anti-horário. Parametrizamos
r(t)=(cos t,sin t,0), 0<= t<= 2pi

Passo 3

Em cada ponto da curva temos
F(r(t))=(sin^2 t,;cos tsin t,;0), dr=r'(t),dt=(-sin t,;cos t,;0),dt

Passo 4

O produto escalar é
F(r(t))cdot r'(t) =sin^2 tcdot(-sin t)+(cos tsin t)cdotcos t =-sin^3 t+cos^2 tsin t =sin t(cos^2 t-sin^2 t) =sin tcos2t
Logo a integral de linha fica
integral0^2pisin tcos2t,dt
Usando
sin tcos2t=tfrac12(sin3t-sin t)
temos
integral0^2pitfrac12(sin3t-sin t),dt =12l[-tfrac13cos3t+cos tr]0^2pi =0

Resposta

0

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