Problema 70 Construa os gráficos das funções racionais fracionárias (hipérboles):
y=x-2x+2

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função racional
y = x - 2x + 2,
que é uma hipérbole deslocada. Para isso vamos precisar achar: domínio, assíntotas (vertical e horizontal), forma canônica (para ver o centro da hipérbole), interceptos e alguns pontos de referência.

Passo 2

Domínio: a divisão só não está definida quando o denominador vale zero, ou seja
x + 2 = 0 implies x = -2
Logo o domínio é
xinRmid xneq -2

Passo 3

Assíntota vertical: ocorre em x=-2, pois para xto -2^pm o valor de y cresce em módulo sem limite.

Passo 4

Assíntota horizontal: analisamos
limxtopminftyx-2x+2 =limxtopminftyxl(1-tfrac2xr)xl(1+tfrac2xr) =1-01+0=1
Logo y=1 é a assíntota horizontal.

Passo 5

Para ver o centro da hip’erbole e sua forma, escreve­mos
x-2x+2 =(x+2)-4x+2 =1-4x+2
Assim
y=1-4x+2
'e a equa\c{c}~ao de uma hip’erbole com centro em (-2,1), ramos paralelos `as direc\c{c}~oes de y=x e y=-x.

Passo 6

Interceptos e pontos de referência:
— Intercepto em y: ponha x=0,
y(0)=0-20+2=-1
— Intercepto em x: ponha y=0,
0=x-2x+2implies x-2=0implies x=2
Alguns pontos extras:
— Para x=-4, y=(-4-2)/(-4+2)=(-6)/(-2)=3.
— Para x=-1, y=(-1-2)/(-1+2)=(-3)/1=-3.

Passo 7

Resumo do esboço:
— Assíntotas vert.: x=-2 e horiz.: y=1.
— Centro da hipérbole em (-2,1).
— Um ramo fica à esquerda de x=-2, passando por (-4,3) e aproximando-se de y=1 e x=-2.
— O outro ramo fica à direita de x=-2, passando por (0,-1), (2,0), (-1,-3), aproximando-se também das assíntotas.

Resposta

O gráfico é uma hipérbole com:
— domínio xneq -2,
— assíntotas x=-2 e y=1,
— centro (-2,1),
— interceptos em (0,-1) e (2,0).
Os ramos situam-se uma à esquerda de x=-2 (passando por (-4,3)) e outra à direita de x=-2 (passando por (0,-1) e (2,0)).

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