Problema 70 Construa os gráficos das funções racionais fracionárias (hipérboles):
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico da função racional
que é uma hipérbole deslocada. Para isso vamos precisar achar: domínio, assíntotas (vertical e horizontal), forma canônica (para ver o centro da hipérbole), interceptos e alguns pontos de referência.
Passo 2
Domínio: a divisão só não está definida quando o denominador vale zero, ou seja
Logo o domínio é
Passo 3
Assíntota vertical: ocorre em
, pois para
o valor de
cresce em módulo sem limite.
Passo 4
Assíntota horizontal: analisamos
Logo
é a assíntota horizontal.
Passo 5
Para ver o centro da hip’erbole e sua forma, escrevemos
Assim
'e a equa\c{c}~ao de uma hip’erbole com centro em
, ramos paralelos `as direc\c{c}~oes de
e
.
Passo 6
Interceptos e pontos de referência:
— Intercepto em : ponha
,
— Intercepto em
— Intercepto em
: ponha
,
Alguns pontos extras:
— Para ,
.
— Para ,
.
— Para
— Para
Passo 7
Resumo do esboço:
— Assíntotas vert.: e horiz.:
.
— Centro da hipérbole em .
— Um ramo fica à esquerda de , passando por
e aproximando-se de
e
.
— O outro ramo fica à direita de , passando por
,
,
, aproximando-se também das assíntotas.
— Assíntotas vert.:
— Centro da hipérbole em
— Um ramo fica à esquerda de
— O outro ramo fica à direita de
Resposta
O gráfico é uma hipérbole com:
— domínio ,
— assíntotas e
,
— centro ,
— interceptos em e
.
Os ramos situam-se uma à esquerda de (passando por
) e outra à direita de
(passando por
e
).
— domínio
— assíntotas
— centro
— interceptos em
Os ramos situam-se uma à esquerda de