Exercício 12. Determine todos os valores reais de x que satisfazem as desigualdades.
x^3-x^2-22 x+40>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
x^3-x^2-22x+40>0
ou seja, encontrar todos os xinR tais que o polinômio de grau três
f(x)=x^3-x^2-22x+40
seja positivo. Vamos usar o método de fatoração encontrando as raízes reais de f(x) e depois estudar o sinal de cada fator.

Passo 2

Para achar as raízes de f(x) tentamos candidatos inteiros via Teorema do Resto (raízes possíveis dividem 40): pm1,pm2,pm4,pm5,pm8,dots Calculando
f(2)=2^3-2^2-22cdot2+40=8-4-44+40=0,
concluímos que x=2 é raiz.

Passo 3

Fatoramos f(x) dividindo por (x-2) via divisão sintética:
coeficientes 1,,-1,,-22,,40 e divisor 2 dão quociente com coeficientes 1,,1,,-20. Logo
f(x)=(x-2)l(x^2+x-20r)
O trinômio x^2+x-20 também é fatorável:
x^2+x-20=(x+5)(x-4)
Portanto
f(x)=(x+5)(x-4)(x-2)

Passo 4

Agora fazemos o estudo de sinais. As raízes reais estão em -5, 2 e 4. Em cada intervalo, o sinal de f é o produto dos sinais de
,(x+5),,(x-4) e (x-2). Como o coeficiente líder é positivo, temos:
para x<-5: todos os três fatores são negativos, produto negativo;
para -5<x<2: (x+5)>0, (x-4)<0, (x-2)<0, produto positivo;
para 2<x<4: (x+5)>0, (x-4)<0, (x-2)>0, produto negativo;
para x>4: todos os fatores são positivos, produto positivo.
Como queremos f(x)>0, fica
xin(-5,2);cup;(4,infty)

Resposta

(-5,2)cup(4,infty)

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