Exercício 12. Determine todos os valores reais de
que satisfazem as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
ou seja, encontrar todos os
tais que o polinômio de grau três
seja positivo. Vamos usar o método de fatoração encontrando as raízes reais de
e depois estudar o sinal de cada fator.
Passo 2
Para achar as raízes de
tentamos candidatos inteiros via Teorema do Resto (raízes possíveis dividem
):
Calculando
concluímos que
é raiz.
Passo 3
Fatoramos
dividindo por
via divisão sintética:
coeficientes e divisor
dão quociente com coeficientes
. Logo
coeficientes
O trinômio
também é fatorável:
Portanto
Passo 4
Agora fazemos o estudo de sinais. As raízes reais estão em
,
e
. Em cada intervalo, o sinal de
é o produto dos sinais de
e
. Como o coeficiente líder é positivo, temos:
para : todos os três fatores são negativos, produto negativo;
para :
,
,
, produto positivo;
para :
,
,
, produto negativo;
para : todos os fatores são positivos, produto positivo.
Como queremos , fica
para
para
para
para
Como queremos