Exercício 12. Determine todos os valores reais de x que satisfazem as desigualdades.
2 x^4-4 x^3+4 x^2-4 x+2>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
2x^4-4x^3+4x^2-4x+2>0
ou seja, encontrar todos os xinR que fazem esse polinômio estritamente positivo. Vamos usar fatorização e análise de sinal.

Passo 2

Primeiro, observe que
2x^4-4x^3+4x^2-4x+2 =2l(x^4-2x^3+2x^2-2x+1r)
Agora agrupe em dois quadrados:
x^4-2x^3+2x^2-2x+1 =(x^4-2x^3+x^2)+(x^2-2x+1) =x^2(x-1)^2+(x-1)^2 =(x^2+1)(x-1)^2
Logo
2x^4-4x^3+4x^2-4x+2 =2,(x^2+1),(x-1)^2

Passo 3

Análise de sinal dos fatores:
- 2>0 para todo x.
- (x^2+1)>0 para todo x.
- (x-1)^2>=0 para todo x, com igualdade só em x=1.
Multiplicando, o produto é sempre >=0 e só vale zero quando (x-1)^2=0, isto é, em x=1.

Passo 4

Como queremos
2,(x^2+1),(x-1)^2>0,
precisamos excluir o ponto em que a expressão é zero. Logo a solução são todos os reais, menos x=1.

Resposta

xinRsetminus1

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