Exercício 12. (Apostol seção 12.13 exercícios 1, 2, 3 e 4) Nos exercícios abaixo, transforme a integral
numa integral de linha e calcule a integral. Use o teorema de Stokes.
, em que
consiste nas 5 faces do cubo
que não estão no plano
é a normal que aponta para fora.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a superfície
formada pelas cinco faces do cubo
que não incluem a face no plano
(ou seja, exclui
). Em cada face a normal aponta para fora do cubo. O Teorema de Stokes diz que
ou seja, podemos transformar a integral de superfície numa integral de linha ao longo da curva de contorno
.
Passo 2
A curva
é o contorno do quadrado na face
(que falta em
), com orientação dada pela regra da mão direita: visto do ponto de vista de cima (
), a curva é percorrida no sentido anti-horário ao longo dos vértices
.
Passo 3
Em
o campo fica
logo
Portanto
Passo 4
Vamos dividir a curva em quatro trechos:
- De
a : aqui , então . - De
a : aqui (logo ), então . - De
a : aqui e vai de a , então
- De
a : aqui (logo ), então .
Somando todos os trechos fica
.