Exercício 12. (Apostol seção 12.13 exercícios 1, 2, 3 e 4) Nos exercícios abaixo, transforme a integral ∬ ∇ × F n d S numa integral de linha e calcule a integral. Use o teorema de Stokes.
F(x, y, z)=(y-z, y z,-x z), em que S consiste nas 5 faces do cubo 0 <= x <= 2,0 <= y <= 2,0 <= z <= 2 que não estão no plano x y n é a normal que aponta para fora.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z) = (,y - z,;y,z,;-x,z,)
e a superfície S formada pelas cinco faces do cubo 0<= x,y,z<=2 que não incluem a face no plano xy (ou seja, exclui z=0). Em cada face a normal aponta para fora do cubo. O Teorema de Stokes diz que
integral duplaS (nablatimes F)cdot n,dS ;=;ointpartial SFcdot d r,
ou seja, podemos transformar a integral de superfície numa integral de linha ao longo da curva de contorno partial S.

Passo 2

A curva partial S é o contorno do quadrado na face z=0 (que falta em S), com orientação dada pela regra da mão direita: visto do ponto de vista de cima ( +z), a curva é percorrida no sentido anti-horário ao longo dos vértices
(0,0,0)to(2,0,0)to(2,2,0)to(0,2,0)to(0,0,0).

Passo 3

Em z=0 o campo fica
F(x,y,0) = (,y,;0,;0,),
logo
Fcdot d r ;=; y,dx + 0,dy + 0,dz ;=; y,dx
Portanto
ointpartial SFcdot d r ;=;ointpartial S y,dx

Passo 4

Vamos dividir a curva em quatro trechos:
  1. De (0,0,0) a (2,0,0): aqui y=0, então y,dx=0.
  2. De (2,0,0) a (2,2,0): aqui x=2 (logo dx=0), então y,dx=0.
  3. De (2,2,0) a (0,2,0): aqui y=2 e x vai de 2 a 0, então
integral2^02,dx ;=;2,(0-2);=;-4
  1. De (0,2,0) a (0,0,0): aqui x=0 (logo dx=0), então y,dx=0.
Somando todos os trechos fica -4.

Resposta

-4

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