Problema 71 Construa os gráficos das funções racionais fracionárias:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo é esboço de funções racionais fracionárias. Para isso vamos precisar identificar domínio, assíntotas, paridade, sinal, monotonicidade, concavidade e alguns pontos de apoio antes de traçar as curvas.
Passo 2
Domínio e assíntotas.
O denominador nunca pode ser zero, logo o domínio é
.
Ao aproximar temos
e
,
portanto há assíntota vertical em
O denominador nunca pode ser zero, logo o domínio é
Ao aproximar
portanto há assíntota vertical em
Para
vale
,
logo há assíntota horizontal em
logo há assíntota horizontal em
Passo 3
Paridade e interceptos.
Note que
,
então é ímpar e o gráfico tem simetria de rotação de
em torno da origem.
Não existem interceptos com os eixos, pois nunca se atinge e
está fora do domínio.
Note que
então
Não existem interceptos com os eixos, pois nunca se atinge
Passo 4
Monotonicidade e concavidade.
A derivada é
A derivada é
que é sempre negativa em cada intervalo
e
. Logo a função é estritamente decrescente em cada ramo.
A segunda derivada é
A segunda derivada é
que é positiva para
(concavidade para cima no ramo de
) e negativa para
(concavidade para baixo no ramo de
).
Passo 5
Pontos de apoio e esboço.
Escolhendo alguns valores:
para temos
;
para temos
.
No primeiro quadrante o ramo vai de em
até
em
, sempre decrescendo e com concavidade para cima.
No terceiro quadrante o ramo vai de em
até
em
, também decrescendo e com concavidade para baixo.
As assíntotas são as retas e
, e o gráfico é aquele clássico “hipérbole” de grau ímpar com simetria ímpar.
Escolhendo alguns valores:
para
para
No primeiro quadrante o ramo vai de
No terceiro quadrante o ramo vai de
As assíntotas são as retas
Resposta
O gráfico de
é formado por dois ramos hiperbólicos:
no primeiro quadrante vai de em
a
em
, e
no terceiro quadrante vai de em
a
em
.
Assíntotas em (vertical) e
(horizontal), função ímpar, estritamente decrescente, concavidade para cima em
e para baixo em
.
no primeiro quadrante vai de
no terceiro quadrante vai de
Assíntotas em