Problema 71 Construa os gráficos das funções racionais fracionárias:
y=1x^3

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
y = 1x^3,
O conteúdo é esboço de funções racionais fracionárias. Para isso vamos precisar identificar domínio, assíntotas, paridade, sinal, monotonicidade, concavidade e alguns pontos de apoio antes de traçar as curvas.

Passo 2

Domínio e assíntotas.
O denominador nunca pode ser zero, logo o domínio é
Rsetminus0.
Ao aproximar xto0 temos
limxto0^+1/x^3=+infty e
limxto0^-1/x^3=-infty,
portanto há assíntota vertical em
x = 0
Para xtopminfty vale
limxtopminfty1/x^3=0,
logo há assíntota horizontal em
y = 0

Passo 3

Paridade e interceptos.
Note que
f(-x)=1/(-x)^3 = -1/x^3 = -f(x),
então f é ímpar e o gráfico tem simetria de rotação de 180^circ em torno da origem.
Não existem interceptos com os eixos, pois nunca se atinge y=0 e x=0 está fora do domínio.

Passo 4

Monotonicidade e concavidade.
A derivada é
y' = ddxl(x^-3r) = -3,x^-4 = -3x^4,,
que é sempre negativa em cada intervalo (-infty,0) e (0,infty). Logo a função é estritamente decrescente em cada ramo.
A segunda derivada é
y'' = ddxl(-3,x^-4r) = 12,x^-5 = 12x^5,,
que é positiva para x>0 (concavidade para cima no ramo de x>0) e negativa para x<0 (concavidade para baixo no ramo de x<0).

Passo 5

Pontos de apoio e esboço.
Escolhendo alguns valores:
para x=1,2,3 temos y=1,,1/8,,1/27;
para x=-1,-2,-3 temos y=-1,,-1/8,,-1/27.
No primeiro quadrante o ramo vai de +infty em xto0^+ até 0^+ em xto+infty, sempre decrescendo e com concavidade para cima.
No terceiro quadrante o ramo vai de -infty em xto0^- até 0^- em xto-infty, também decrescendo e com concavidade para baixo.
As assíntotas são as retas x=0 e y=0, e o gráfico é aquele clássico “hipérbole” de grau ímpar com simetria ímpar.

Resposta

O gráfico de y=1/x^3 é formado por dois ramos hiperbólicos:
no primeiro quadrante vai de +infty em xto0^+ a 0 em xto+infty, e
no terceiro quadrante vai de -infty em xto0^- a 0 em xto-infty.
Assíntotas em x=0 (vertical) e y=0 (horizontal), função ímpar, estritamente decrescente, concavidade para cima em x>0 e para baixo em x<0.

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