Exercício 13. Estude o sinal das funções racionais a seguir.
h(x)=x^2-4 x+3x^3+x^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sinal da função racional
h(x)=x^2-4x+3x^3+x^2,
O conteúdo é “sinal de função racional”: para resolver, vamos fatorar numerador e denominador, encontrar zeros e polos, e montar um quadro de sinais.

Passo 2

Fatoramos o numerador
x^2-4x+3=(x-1)(x-3),,
portanto os zeros do numerador são x=1 e x=3.

Passo 3

Fatoramos o denominador
x^3+x^2=x^2(x+1),,
portanto há polos em x=0 (multiplicidade 2) e em x=-1 (multiplicidade 1). Note que x=0 e x=-1 não pertencem ao domínio.

Passo 4

Os pontos que dividem os intervalos são
-1,;0,;1,;3
Para estudar o sinal de h(x) em cada intervalo, basta analisar os sinais de (x-1), (x-3) e (x+1), pois o fator x^2 é sempre positivo para xneq0.

Passo 5

Em cada intervalo escolhemos um valor-teste e determinamos
sign(x-1)timessign(x-3)timessign(x+1)
  • Em (-infty,-1), ex: x=-2: (x-1)<0, (x-3)<0, (x+1)<0 Rightarrow produto -.
  • Em (-1,0), ex: x=-tfrac12: (x-1)<0, (x-3)<0, (x+1)>0 Rightarrow produto +.
  • Em (0,1), ex: x=tfrac12: (x-1)<0, (x-3)<0, (x+1)>0 Rightarrow produto +.
  • Em (1,3), ex: x=2: (x-1)>0, (x-3)<0, (x+1)>0 Rightarrow produto -.
  • Em (3,infty), ex: x=4: (x-1)>0, (x-3)>0, (x+1)>0 Rightarrow produto +.

Resposta

A função h não está definida em x=-1 e x=0, e zera em x=1,3.
h(x)<0 em
(-infty,-1)cup(1,3).
h(x)>0 em
(-1,0)cup(0,1)cup(3,infty).

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