Exercício 13. Estude o sinal das funções racionais a seguir.
g(x)=2 x^2-10 x+12x^3+4 x

Passo 1

Estamos estudando o sinal da função racional
g(x)=2x^2-10x+12x^3+4x
O conteúdo é análise de sinais de funções racionais, que requer ( 1) determinar domínio, ( 2) achar zeros do numerador e do denominador, ( 3) montar um quadro de sinais ou usar teste de pontos.

Passo 2

Encontramos o domínio impondo o denominador diferente de zero:
x^3+4x = x,(x^2+4)neq 0
Como x^2+4>0 para todo xinR, a única restrição é xneq 0.
Logo o domínio é Rsetminus0.

Passo 3

Achar as raízes do numerador ;2x^2-10x+12.
Calculamos o discriminante:
De<a = (-10)^2-4cdot2cdot12 = 100 - 96 = 4
As raízes são
x = 10 pm raiz42cdot2 = 10pm24,
isto é x=2 e x=3.
Podemos então fatorar
2x^2-10x+12 = 2(x-2)(x-3)

Passo 4

Analisar o sinal do denominador ;x,(x^2+4).
Como x^2+4>0 sempre, o sinal do denominador é o sinal de x:
denom>0 &se x>0, denom<0 &se x<0

Passo 5

Montar as regiões críticas com pontos x=0,,2,,3. Testando um ponto em cada intervalo:
(- infty, 0): escolha x=-1: numerador 2(-1-2)(-1-3)=2(-3)(-4)>0, denom -1<0 ;Rightarrow g(x)<0.
( 0,2): escolha x=1: numerador 2(1-2)(1-3)=2(-1)(-2)>0, denom >0 ;Rightarrow g(x)>0.
( 2,3): escolha x=2.5: numerador 2(0,5)(-0,5)<0, denom >0 ;Rightarrow g(x)<0.
( 3, infty): escolha x=4: numerador 2(2)(1)>0, denom >0 ;Rightarrow g(x)>0.
Nos pontos x=2 e x=3, o numerador zera e o denominador não, logo g(x)=0.

Resposta

g(x)<0 em (-infty,0)cup(2,3).
g(x)=0 em x=2 e x=3.
g(x)>0 em (0,2)cup(3,infty).

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