Exercício 12. (Apostol seção 12.13 exercícios 1, 2, 3 e 4) Nos exercícios abaixo, transforme a integral ∬ ∇ × F n d S numa integral de linha e calcule a integral. Use o teorema de Stokes.
F(x, y, z)=(x z,-y, x^2 y), em que S consite nas 3 faces do tetraedro que não estão no plano x z. O tetraedro é limitado pelos planos coordenados e o plano 3 x+y+3 z=6. n é a normal que aponta para fora.

Passo 1

O enunciado dá o campo ,F(x,y,z)=(xz,,-y,,x^2y) e pede
integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS,
onde S é a união das três faces do tetraedro que não estão no plano y=0, o tetraedro sendo limitado pelos planos coordenados e por 3x+y+3z=6. Vamos aplicar o teorema de Stokes para transformar essa integral de superfície numa integral de linha em torno da curva de contorno partial S.

Passo 2

A curva partial S é justamente o triângulo de interseção do tetraedro com o plano y=0, cujos vértices são
A=(0,0,0), B=(2,0,0), C=(0,0,2)
Como a face faltante (o plano y=0) teria normal externa -j, a orientação positiva de partial S é o percurso Ato Bto Cto A visto do lado de -j. Pelo teorema de Stokes:
integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS ;=;ointpartial SFcdot d r

Passo 3

Segmento C1colon Ato B. Parâmetro tin[0,2]:
r1(t)=(t,0,0), d r1=(1,0,0),dt,
em que F( r1)=(tcdot0,,0,,t^2cdot0)=(0,0,0). Logo
integralC1Fcdot d r=0

Passo 4

Segmento C2colon Bto C. Parâmetro uin[0,1]:
r2(u)=(2-2u,,0,,2u), d r2=(-2,0,2),du
Aqui x=2(1-u), y=0, z=2u, então
F( r2)=(x z,,-y,,x^2y)=(4u(1-u),,0,,0)
Assim
Fcdot d r2 =4u(1-u),(-2),du = -8u(1-u),du Longrightarrow integralC2Fcdot d r =-8integral0^1l(u-u^2r)du =-8l(tfrac12-tfrac13r) =-tfrac43

Passo 5

Segmento C3colon Cto A. Parâmetro tin[0,1]:
r3(t)=(0,0,2-2t), d r3=(0,0,-2),dt
Aqui x=0 ou y=0, logo F( r3)=(0,0,0) e
integralC3Fcdot d r=0

Passo 6

Somando as três contribuições:
ointpartial SFcdot d r =0 + l(-tfrac43r) + 0 =-tfrac43

Resposta

integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS ;=; -tfrac43

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