Exercício 12. (Apostol seção 12.13 exercícios 1, 2, 3 e 4) Nos exercícios abaixo, transforme a integral
numa integral de linha e calcule a integral. Use o teorema de Stokes.
, em que
consite nas 3 faces do tetraedro que não estão no plano
. O tetraedro é limitado pelos planos coordenados e o plano
.
é a normal que aponta para fora.
Passo 1
O enunciado dá o campo
e pede
onde
é a união das três faces do tetraedro que não estão no plano
, o tetraedro sendo limitado pelos planos coordenados e por
. Vamos aplicar o teorema de Stokes para transformar essa integral de superfície numa integral de linha em torno da curva de contorno
.
Passo 2
A curva
é justamente o triângulo de interseção do tetraedro com o plano
, cujos vértices são
Como a face faltante (o plano
) teria normal externa
, a orientação positiva de
é o percurso
visto do lado de
. Pelo teorema de Stokes:
Passo 3
Segmento
. Parâmetro
:
em que
. Logo
Passo 4
Segmento
. Parâmetro
:
Aqui
,
,
, então
Assim
Passo 5
Segmento
. Parâmetro
:
Aqui
ou
, logo
e
Passo 6
Somando as três contribuições: