Exercício 14. Dados os polinômios f(x) e g(x) com g(x) neq 0 e partial f>partial g, temos que a função racional f(x)g(x) (imprópria) pode ser reescrita como a soma de um polinômio com uma função racional própria, cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador. Para determinar esses polinômios, fazemos a divisão de f(x) por g(x) e encontramos os polinômios q(x) neq 0 e r(x) tais que f(x)=q(x) cdot g(x)+r(x), com r(x)=0 ou partial r<partial g. Agora é só substituir na função racional,
f(x)g(x)=q(x) cdot g(x)+r(x)g(x)=q(x) cdot g(x)g(x)+r(x)g(x)=q(x)+r(x)g(x)
Utilize esse procedimento para reescrever as funções racionais seguintes como somas de polinômios com funções racionais próprias.
f(x)g(x)=3 x^5+x^4-2 x^3-8 xx^2-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para decompor a função racional
f(x)g(x) = 3x^5 + x^4 - 2x^3 - 8xx^2 - 2x + 1
em um polinômio q(x) mais uma parte própria dfracr(x)g(x), onde deg r < deg g. Vamos usar divisão de polinômios para encontrar q(x) e r(x).

Passo 2

Aplicamos a divisão de
3x^5 + x^4 - 2x^3 - 8x
por
x^2 - 2x + 1
O cálculo longo fornece
3x^5 + x^4 - 2x^3 - 8x = (x^2 - 2x + 1),(3x^3 + 7x^2 + 9x + 11) + (5x - 11)
Como deg(5x - 11)=1<2=deg(x^2-2x+1), temos
q(x) = 3x^3 + 7x^2 + 9x + 11, r(x) = 5x - 11

Passo 3

Substituindo na função racional, obtém-se
f(x)g(x) = q(x) + r(x)g(x) = 3x^3 + 7x^2 + 9x + 11 + 5x - 11x^2 - 2x + 1

Resposta

3x^5 + x^4 - 2x^3 - 8xx^2 - 2x + 1 = 3x^3 + 7x^2 + 9x + 11 + 5x - 11x^2 - 2x + 1

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