Exercício 12. (Apostol seção 14.18 exercício 1) Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme em 0,1. Determine a função de distribuição FY e de densidade fY de uma variável aleatória Y se:
Y=ln (X^2)

Passo 1

O enunciado diz que X é uniforme em [0,1] e define
Y = lnl(X^2r)
Queremos a função de distribuição FY e a densidade fY. O método é usar transformação de variável aleatória monótona.

Passo 2

Antes de tudo, determine o suporte de Y. Como Xin[0,1] temos
X^2in[0,1]Longrightarrow ln(X^2)in(-infty,,0],
logo Y varia em (-infty,0].

Passo 3

Para y<=0, calcule
FY(y)=Pl(Y<= yr) =Pl(ln(X^2)<= yr) =Pl(X^2<= e^yr)
Como X>=0, isto é
Pl(0<= X<= e^y/2r) =integral0^e^y/21,dx =e^y/2
Para y<-infty isso tende a 0, e para y>=0 temos e^y/2>=1 mas X<=1, logo FY(y)=1.

Passo 4

A densidade fY é a derivada de FY em (-infty,0):
fY(y) =ddye^y/2 =12,e^y/2, y<0,
e fY(y)=0 fora desse intervalo.

Resposta

FY(y)= 0,&y<-infty, e^y/2,&-infty<y<=0, 1,&y>0, fY(y)= dfrac12,e^y/2,&y<=0, 0,&y>0

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