Exercício 12. (Apostol seção 14.18 exercício 1) Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme em 0,1. Determine a função de distribuição FY e de densidade fY de uma variável aleatória Y se:
Y=e^X

Passo 1

O enunciado diz que
e define e a densidade de . Vamos usar a técnica de transformação de variáveis contínuas.

Passo 2

Determinar o suporte de Y. Como Xin[0,1] e a função g(x)=e^x é estritamente crescente, temos
Yin[e^0,e^1]=[1,e]
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FY(y)=0se y<1, FY(y)=1se y>e

Passo 3

Para 1<= y<= e,
FY(y)=P(Y<= y)=Pl(e^X<= yr) =Pl(X<=ln(y)r)
Como a função de distribuição de X é FX(t)=t para tin[0,1], temos
FY(y)=FXl(ln(y)r)=ln(y)

Passo 4

Portanto, a função de distribuição de Y é
FY(y)= 0,&y<1, ln(y),&1<= y<= e, 1,&y>e

Passo 5

Para obter a densidade, derivamos FY em relação a y no intervalo onde ela varia:
fY(y)=ddyFY(y) =ddyln(y) =1y, 1<y<e,
e é zero fora desse intervalo.

Resposta

FY(y)= 0,&y<1, ln(y),&1<= y<= e, 1,&y>e, fY(y)= dfrac1y,&1<y<e, 0,&caso contrário á

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