Exercício 12. (Apostol seção 14.18 exercício 1) Seja uma variável aleatória com distribuição uniforme em . Determine a função de distribuição e de densidade de uma variável aleatória se:
Passo 1
O enunciado diz que
e define e a densidade de . Vamos usar a técnica de transformação de variáveis contínuas.
Passo 2
Determinar o suporte de . Como e a função é estritamente crescente, temos
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Passo 3
Para ,
Como a função de distribuição de é para , temos
Passo 4
Portanto, a função de distribuição de é
Passo 5
Para obter a densidade, derivamos FY em relação a y no intervalo onde ela varia:
fY(y)=ddyFY(y) =ddyln(y) =1y, 1<y<e,
e é zero fora desse intervalo.
Resposta
FY(y)= 0,&y<1, ln(y),&1<= y<= e, 1,&y>e, fY(y)= dfrac1y,&1<y<e, 0,&caso contrário á