Exercício 13. (Apostol seção 14.18 exercício 3) Seja X uma variável aleatória com distribuição normal. Descreva a função de densidade de probabilidade da variável aleatória Y, em que
Y=|X|^12

Passo 1

O enunciado diz que X tem distribuição normal padrão, isto é, densidade
fX(x)=1raiz2piexp!l(-x^2/2r),
e define a variável Y por
Y = lvert Xrvert^1/2
Para encontrar a densidade de Y, usamos o método da função de distribuição acumulada (CDF).

Passo 2

Para y>=0, temos
FY(y)=P(Y<= y) =Pl(lvert Xrvert^1/2<= yr) =Pl(lvert Xrvert<= y^2r) =integral-y^2^y^2fX(x),dx
Para y<0, claramente FY(y)=0.

Passo 3

Derivando FY em y>0:
fY(y)=ddyFY(y) =ddyintegral-y^2^y^2fX(x),dx =fX(y^2)cdot2y - fX(-y^2)cdot(-2y) =2yl[fX(y^2)+fX(-y^2)r]
Como fX é par, fX(y^2)=fX(-y^2), segue
fY(y)=4y,fX(y^2) =4ycdot1raiz2piexp!l(-y^4/2r)
Para y<0, fY(y)=0.

Resposta

A densidade de Y é
fY(y)= dfrac4yraiz2piexp!l(-y^4/2r),&y>=0, 0,&y<0

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