Seja f(x)=x^2x^2+1, com 0 <= x <= 1. Determine o valor de x onde f está crescendo mais rapidamente.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2x^2+1,
definida em 0<= x<=1, e pede o ponto em que f cresce mais rapidamente. Isso significa achar x que maximiza a derivada f'(x) nesse intervalo.

Passo 2

Vamos calcular f'(x) usando a regra do quociente. Seja u(x)=x^2 e v(x)=x^2+1. Então
u'(x)=2x, v'(x)=2x,
e
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =2x,(x^2+1)-x^2,(2x)(x^2+1)^2 =2x(x^2+1)^2

Passo 3

Para encontrar onde f'(x) é máximo em [0,1], definimos
g(x)=f'(x)=2x(x^2+1)^2
e procuramos seus pontos críticos. Calculamos g'(x) por derivação de produto/potência:
g'(x) =2,(x^2+1)^-2+2xcdot(-2),(x^2+1)^-3cdot2x =2(x^2+1)^-3l[(x^2+1)-4x^2r] =2(x^2+1)^-3(1-3x^2)

Passo 4

Zeramos g'(x):
1-3x^2=0 Longrightarrow x^2=tfrac13 Longrightarrow x=1raiz3
(negativo não interessa pois x>=0). Também avaliamos extremos do intervalo:
g(0)=0, g(1)=2cdot1(1+1)^2=12, gl(tfrac1raiz3r) =2,(1/raiz3)l(1+tfrac13r)^2 =2/raiz3(4/3)^2 =3raiz38approx0,65

Passo 5

Como g(0)=0, g(1)=0,5 e g(1/raiz3)approx0,65, o valor máximo de f'(x) em [0,1] ocorre em
x=1raiz3

Resposta

O ponto em que f cresce mais rapidamente é
x=1raiz3

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