Exercício 12. Calcule detalhadamente cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} \operatorname{sen}^{2} y}{x^{2}+2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}\,\operatorname{sen}^{2}y}{x^{2}+2y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{2}\,\operatorname{sen}^{2}y}{x^{2}+2y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
  • Quer-se verificar se o limite existe e, se existir, calcular o valor.

Passo 2

Primeiro fato útil (identidade/inequação elementar sobre seno). Para todo y\in\mathbb{R} vale
|\sin y|\le |y|,
portanto, elevando ao quadrado,
\sin^{2}y \le y^{2}.
Vou usar essa desigualdade para controlar o numerador. Aplicando-a em f(x,y) obtemos, para todo (x,y)\neq(0,0),
\left|\frac{x^{2}\,\sin^{2}y}{x^{2}+2y^{2}}\right| \le \frac{x^{2}\,y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}.
Isso já reduz o problema a estudar o limite da função à direita quando (x,y)\to(0,0).

Passo 3

Agora precisamos estimar \dfrac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} por algo que vá para 0 quando (x,y)\to(0,0). Uma desigualdade útil entre quadrados é a seguinte: para quaisquer números reais a,b\ge0,
4ab \le (a+b)^{2}.
Tomando a=x^{2} e b=y^{2} (ambos não-negativos), obtemos
4x^{2}y^{2} \le (x^{2}+y^{2})^{2},
ou seja
x^{2}y^{2} \le \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}.
Esta desigualdade é fácil de ver também expandindo (x^{2}-y^{2})^{2}\ge0, que leva à mesma conclusão.

Passo 4

Defina r^{2}=x^{2}+y^{2}. Observe que (x,y)\to(0,0) é equivalente a r\to0. Usando a desigualdade do passo anterior,
\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} \le \frac{\dfrac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}}{x^{2}+2y^{2}} = \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4\,(x^{2}+2y^{2})}.
Além disso, para todo (x,y) vale
x^{2}+2y^{2} \ge x^{2}+y^{2}=r^{2},
porque 2y^{2}\ge y^{2}. Assim
\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4\,(x^{2}+2y^{2})} \le \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4\,r^{2}} = \frac{r^{4}}{4r^{2}} = \frac{r^{2}}{4}.
Juntando com a desigualdade do passo 2, para todo (x,y)\neq(0,0) temos
\left|\frac{x^{2}\sin^{2}y}{x^{2}+2y^{2}}\right| \le \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} \le \frac{r^{2}}{4}.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Sabemos que 0\le \dfrac{r^{2}}{4} e \dfrac{r^{2}}{4}\to0 quando r\to0. Como
-\frac{r^{2}}{4} \le \frac{x^{2}\sin^{2}y}{x^{2}+2y^{2}} \le \frac{r^{2}}{4},
e as cotas superior e inferior tendem a 0 quando (x,y)\to(0,0), a função em questão também tende a 0. Portanto o limite existe e é 0.
Comentário rápido e tranquilizador: testar caminhos especiais (por exemplo y=0 ou x=0 ou y=kx) dá sempre 0, o que confirma a compatibilidade das estimativas acima.

Resposta

0

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