Exercício 12. Calcule detalhadamente cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe. \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} \operatorname{sen}^{2} y}{x^{2}+2 y^{2}}
Isso já reduz o problema a estudar o limite da função à direita quando (x,y)\to(0,0).
Passo 3
Agora precisamos estimar \dfrac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} por algo que vá para 0 quando (x,y)\to(0,0). Uma desigualdade útil entre quadrados é a seguinte: para quaisquer números reais a,b\ge0,
4ab \le (a+b)^{2}.
Tomando a=x^{2} e b=y^{2} (ambos não-negativos), obtemos
4x^{2}y^{2} \le (x^{2}+y^{2})^{2},
ou seja
x^{2}y^{2} \le \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}.
Esta desigualdade é fácil de ver também expandindo (x^{2}-y^{2})^{2}\ge0, que leva à mesma conclusão.
Passo 4
Defina r^{2}=x^{2}+y^{2}. Observe que (x,y)\to(0,0) é equivalente a r\to0. Usando a desigualdade do passo anterior,
e as cotas superior e inferior tendem a 0 quando (x,y)\to(0,0), a função em questão também tende a 0. Portanto o limite existe e é 0.
Comentário rápido e tranquilizador: testar caminhos especiais (por exemplo y=0 ou x=0 ou y=kx) dá sempre 0, o que confirma a compatibilidade das estimativas acima.