Exercício 13. Determine o maior subconjunto de mathbb{R}^{2} no qual cada uma das funções a seguir é contínua:
f(x, y)=\cos \sqrt{1-x-y}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=\cos\sqrt{1-x-y}.
O que é pedido: determinar o maior subconjunto de \mathbb{R}^{2} no qual f é contínua.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão envolve \sqrt{1-x-y}, logo é necessário que 1-x-y seja um número onde a raiz quadrada esteja definida (i.e. não-negativo).
  • A função \cos é aplicada ao resultado da raiz.
  • Não há outras restrições explícitas além daquelas impostas pela raiz.

Passo 2

Identificar o domínio natural (onde f está definida). Para que \sqrt{1-x-y} faça sentido como número real precisamos de
1-x-y \ge 0.
Portanto o domínio de definição de f é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid 1-x-y \ge 0\},
que pode ser reescrito de forma mais simples como
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid x+y \le 1\}.

Passo 3

Explicar por que as funções usadas são contínuas (pequena aula):
  • A função \cos:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em todo \mathbb{R}. Isso é um fato básico do cálculo real (seno e cosseno são contínuos).
  • A função \sqrt{\;\cdot\;}:[0,\infty)\to[0,\infty) é contínua em todo [0,\infty). Intuitivamente, se t_n\to t\ge0 então \sqrt{t_n}\to\sqrt{t}. Formalmente pode-se provar com desigualdades ou observar que \sqrt{t} é derivável em (0,\infty) e tem limite bem definido em 0.
  • A função linear g:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} dada por g(x,y)=1-x-y é contínua em todo \mathbb{R}^{2} (qualquer combinação linear de coordenadas é contínua).
Fórmula e significado das funções que vamos compor:
  • Definir g(x,y)=1-x-y. Aqui g pega um ponto (x,y) e devolve um número real.
  • Definir s(t)=\sqrt{t}, com domínio t\ge0.
  • Definir c(u)=\cos u, com domínio u\in\mathbb{R}.
    Então f=c\circ s\circ g, isto é, f(x,y)=c\big(s(g(x,y))\big).

Passo 4

Teorema de composição (explicação e aplicação): se g é contínua em um ponto p, s é contínua no valor g(p) e c é contínua no valor s(g(p)), então a composição c\circ s\circ g é contínua em p.
Aplicando no nosso caso:
  • g é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
  • s é contínua em todo [0,\infty).
  • c é contínua em todo \mathbb{R}.
Logo, sempre que g(x,y)\in[0,\infty) (ou seja, sempre que (x,y)\in D) temos que s é contínua em g(x,y) e c é contínua em s(g(x,y)). Portanto f=c\circ s\circ g é contínua em todo ponto de D.
Observação sobre o bordo 1-x-y=0: como s é contínua em 0, a composição também é contínua nos pontos onde 1-x-y=0. Por isso o bordo é incluído.

Passo 5

Mostrar maximalidade: não existe conjunto maior em que f seja contínua porque fora de D a expressão \sqrt{1-x-y} não está definida em \mathbb{R} (é número complexo), então f sequer existe aí como função real. Assim o maior subconjunto de \mathbb{R}^{2} onde f é contínua é exatamente o domínio D.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x+y\le 1\}

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