Exercício 13. Determine o maior subconjunto de
no qual cada uma das funções a seguir é contínua:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que é pedido: determinar o maior subconjunto de
no qual
é contínua.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão envolve
, logo é necessário que seja um número onde a raiz quadrada esteja definida (i.e. não-negativo). - A função
é aplicada ao resultado da raiz. - Não há outras restrições explícitas além daquelas impostas pela raiz.
Passo 2
Identificar o domínio natural (onde
está definida). Para que
faça sentido como número real precisamos de
Portanto o domínio de definição de
é
que pode ser reescrito de forma mais simples como
Passo 3
Explicar por que as funções usadas são contínuas (pequena aula):
- A função
é contínua em todo . Isso é um fato básico do cálculo real (seno e cosseno são contínuos). - A função
é contínua em todo . Intuitivamente, se então . Formalmente pode-se provar com desigualdades ou observar que é derivável em e tem limite bem definido em . - A função linear
dada por é contínua em todo (qualquer combinação linear de coordenadas é contínua).
Fórmula e significado das funções que vamos compor:
- Definir
. Aqui pega um ponto e devolve um número real. - Definir
, com domínio . - Definir
, com domínio .
Então, isto é, .
Passo 4
Teorema de composição (explicação e aplicação): se
é contínua em um ponto
,
é contínua no valor
e
é contínua no valor
, então a composição
é contínua em
.
Aplicando no nosso caso:
-
é contínua em todo . -
é contínua em todo . -
é contínua em todo .
Logo, sempre que
(ou seja, sempre que
) temos que
é contínua em
e
é contínua em
. Portanto
é contínua em todo ponto de
.
Observação sobre o bordo
: como
é contínua em
, a composição também é contínua nos pontos onde
. Por isso o bordo é incluído.
Passo 5
Mostrar maximalidade: não existe conjunto maior em que
seja contínua porque fora de
a expressão
não está definida em
(é número complexo), então
sequer existe aí como função real. Assim o maior subconjunto de
onde
é contínua é exatamente o domínio
.