Exercício 12. Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+4 x}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}+4x}-x\bigr).
Este tipo de problema é de “limites no infinito” e normalmente resolvemos usando a técnica de racionalizar a diferença, ou seja, multiplicar pelo conjugado.

Passo 2

Racionalizamos a expressão multiplicando numerador e denominador por \sqrt{x^{2}+4x}+x:
\sqrt{x^{2}+4x}-x = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+4x}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+4x}+x\bigr)}{\sqrt{x^{2}+4x}+x} = \frac{x^{2}+4x - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4x}+x} = \frac{4x}{\sqrt{x^{2}+4x}+x}.

Passo 3

Para tratar o infinito, fatoramos x dentro da raiz e no denominador:
\frac{4x}{\sqrt{x^{2}+4x}+x} = \frac{4x}{x\sqrt{1+\tfrac{4}{x}} + x} = \frac{4x}{x\bigl(\sqrt{1+\tfrac{4}{x}} + 1\bigr)} = \frac{4}{\sqrt{1+\tfrac{4}{x}} + 1}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando x\to+\infty. Como \tfrac{4}{x}\to 0, temos \sqrt{1+\tfrac{4}{x}}\to1. Logo,
\lim_{x\to+\infty}\frac{4}{\sqrt{1+\tfrac{4}{x}} + 1} = \frac{4}{1+1} =2.

Resposta

2

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