Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa mostrar que a integral de em relação a é igual a . Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente técnicas de integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a expressão e escolher uma substituição adequada que facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de maneira um pouco diferente para facilitar a visualização:
Aqui, temos uma fração com e no denominador. Uma boa estratégia é tentar simplificar essa expressão para que possamos aplicar uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos observar que aparece dentro da raiz quadrada. Isso sugere que uma substituição envolvendo pode ser útil. Vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Passo 4
Vamos agora substituir e na integral original:
Mas percebemos que ainda temos na expressão, e queremos tudo em termos de . Lembrando que , podemos isolar :
No entanto, essa substituição está complicando mais do que ajudando. Vamos tentar uma abordagem diferente.
Passo 5
Outra estratégia é usar uma substituição que envolva a raiz quadrada diretamente. Vamos tentar:
Então, calculando a derivada de em relação a :
Passo 6
Agora, vamos expressar a integral em termos de :
Mas ainda temos na expressão, e queremos tudo em termos de . Como , podemos isolar :
Essa substituição também está complicando a integral. Vamos tentar uma abordagem mais direta.
Passo 7
Vamos retornar à integral original e reescrevê-la de forma a facilitar a integração:
Vamos usar a regra de diferenciação de funções compostas de integração para encontrar uma função cuja derivada seja essa expressão.
Passo 8
Vamos supor que a função resultante seja . Vamos verificar derivando essa função: