Mostre que: integral 1x^2 raiz1+x^2 d x=-raiz1+x^2x+k

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa mostrar que a integral de 1x^2 raiz1+x^2 em relação a x é igual a -raiz1+x^2x + k. Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente técnicas de integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a expressão e escolher uma substituição adequada que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de maneira um pouco diferente para facilitar a visualização:
integral 1x^2 raiz1+x^2 dx
Aqui, temos uma fração com x^2 e raiz1+x^2 no denominador. Uma boa estratégia é tentar simplificar essa expressão para que possamos aplicar uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos observar que 1 + x^2 aparece dentro da raiz quadrada. Isso sugere que uma substituição envolvendo 1 + x^2 pode ser útil. Vamos definir:
u = 1 + x^2
Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
du = 2x , dx Rightarrow dx = du2x

Passo 4

Vamos agora substituir u e dx na integral original:
integral 1x^2 raizu cdot du2x = integral 1x^3 raizu cdot du2
Mas percebemos que ainda temos x na expressão, e queremos tudo em termos de u. Lembrando que u = 1 + x^2, podemos isolar x^2:
x^2 = u - 1 Rightarrow x = raizu - 1
No entanto, essa substituição está complicando mais do que ajudando. Vamos tentar uma abordagem diferente.

Passo 5

Outra estratégia é usar uma substituição que envolva a raiz quadrada diretamente. Vamos tentar:
t = raiz1 + x^2
Então, calculando a derivada de t em relação a x:
dt = xraiz1 + x^2 dx Rightarrow dx = raiz1 + x^2x dt

Passo 6

Agora, vamos expressar a integral em termos de t:
integral 1x^2 t cdot tx dt = integral 1x^3 dt
Mas ainda temos x na expressão, e queremos tudo em termos de t. Como t = raiz1 + x^2, podemos isolar x:
t^2 = 1 + x^2 Rightarrow x^2 = t^2 - 1 Rightarrow x = raizt^2 - 1
Essa substituição também está complicando a integral. Vamos tentar uma abordagem mais direta.

Passo 7

Vamos retornar à integral original e reescrevê-la de forma a facilitar a integração:
integral 1x^2 raiz1 + x^2 dx = integral raiz1 + x^2^-1x^2 dx
Vamos usar a regra de diferenciação de funções compostas de integração para encontrar uma função cuja derivada seja essa expressão.

Passo 8

Vamos supor que a função resultante seja -raiz1 + x^2x. Vamos verificar derivando essa função:
f(x) = -raiz1 + x^2x
A derivada de f(x) será:
f'(x) = -( ddx ( raiz1 + x^2x ) )
Usando a regra do quociente:
f'(x) = -( x cdot ddx raiz1 + x^2 - raiz1 + x^2 cdot 1x^2 )
Calculando ddx raiz1 + x^2:
ddx raiz1 + x^2 = xraiz1 + x^2
Substituindo de volta:
f'(x) = -( x cdot xraiz1 + x^2 - raiz1 + x^2x^2 ) = -( x^2raiz1 + x^2 - raiz1 + x^2x^2 )
Simplificando:
f'(x) = -( x^2 - (1 + x^2)x^2 raiz1 + x^2 ) = -( -1x^2 raiz1 + x^2 ) = 1x^2 raiz1 + x^2
Isso confirma que a derivada de -raiz1 + x^2x é exatamente a função que queríamos integrar.

Resposta

Portanto,
integral 1x^2 raiz1+x^2 , dx = -raiz1+x^2x + k

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